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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:57 Mi 12.09.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Gegeben sei die Differentialgleichung:
[mm] (u')^{2}-9u^{2}=4
[/mm]
Mit dem Anfangswert [mm] u_{0}=0 [/mm] und [mm] u_{0}'>0
[/mm]
a) Ermitteln Sie eine Potenzreihendarstellung fur [mm] u_{t} [/mm] bis zum 4. nichtverschwindenden Glied der Reihe.
b) Durch implizites Differenzieren und Division durch u' läßt sich eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung für u aufstellen. Ermitteln Sie auf diesem Weg die exakte Lösung für das Anfangswertproblem. |
Hi,
ich hab bei Aufgabenteil b) Probleme. a)hat gefunzt.
Was bisher geschah:
Implizites Diferenzieren:
2u'*u''-18u*u'=0
Division durch u':
2u''-18u=0
dann hab ich gleich noch durch 2 geteilt:
u''-9u=0
charakteristisches Polynom:
[mm] \lambda^{2}-9=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1}=3 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=-3
[/mm]
Lösungsgesamtheit der homogenen DGL:
[mm] y=A*e^{3x}+B*e^{-3x}
[/mm]
So, jetzt das AWP:
[mm] y_{0}=0
[/mm]
0=A+B
[mm] y'=3Ae^{3x}-3e^{-3x}
[/mm]
y'_{0}>0
0>3A-3B
So jetzt macht mir das Lösen des Gleichungssystems Ärger. Bzw. weiß mit dem Ungleichheitszeichen nicht so recht umzugehen. Die Lösung ist [mm] u_{(t)}=\bruch{2}{3}sinh(3t).
[/mm]
Ich hoffe mir kann jemand helfen! Danke!!!!!
LG
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 Mi 12.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Stefan!
> Gegeben sei die Differentialgleichung:
>
> [mm](u')^{2}-9u^{2}=4[/mm]
>
> Mit dem Anfangswert [mm]u_{0}=0[/mm] und u'_{0}>0
>
> a) Ermitteln Sie eine Potenzreihendarstellung fur [mm]u_{t}[/mm] bis
> zum 4. nichtverschwindenden Glied der Reihe.
>
> b) Durch implizites Differenzieren und Division durch u'
> läßt sich eine lineare Differentialgleichung zweiter
> Ordnung für u aufstellen. Ermitteln Sie auf diesem Weg die
> exakte Lösung für das Anfangswertproblem.
> Hi,
>
> ich hab bei Aufgabenteil b) Probleme. a)hat gefunzt.
>
> Was bisher geschah:
>
> Implizites Diferenzieren:
>
> 2u'*u''-18u*u'=0
>
> Division durch u':
>
> 2u''-18u=0
>
> dann hab ich gleich noch durch 2 geteilt:
>
> u''-9u=0
>
> charakteristisches Polynom:
>
> [mm]\lambda^{2}-9=0[/mm]
> [mm]\lambda_{1}=3[/mm] ; [mm]\lambda_{2}=-3[/mm]
>
> Lösungsgesamtheit der homogenen DGL:
>
> [mm]y=A*e^{3x}+B*e^{-3x}[/mm]
>
> So, jetzt das AWP:
>
> [mm]y_{0}=0[/mm]
> 0=A+B
>
> [mm]y'=3Ae^{3x}-3e^{-3x}[/mm]
> [mm]y'_{0}>0[/mm]
> [mm]0>3A-3B[/mm]
Umgekehrt: [mm]3A-3B> 0[/mm] oder: [mm]A>B[/mm].
> So jetzt macht mir das Lösen des Gleichungssystems Ärger.
> Bzw. weiß mit dem Ungleichheitszeichen nicht so recht
> umzugehen.
Du hast doch aus der Anfangsbedingung: B=-A, also lässt sich die Lösung schreiben:
[mm]u = A*e^{3x}-A*e^{-3x} = 2A\sinh(3x)[/mm].
Aus der Ungleichung folgt [mm]A>-A[/mm], also [mm]A>0[/mm].
Und jetzt setzt du deine Lösung in die ursprüngliche DGL ein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Do 13.09.2007 | | Autor: | polyurie |
erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort. Aber ich hab das noch nicht ganz gerafft.
Hab das jetzt so gemacht:
[mm] u'=3Ae^{3x}+3Ae^{-3x} [/mm] in die DGL [mm] u'^{2}-9u^{2}=4 [/mm] eingesetzt und nach u umgestellt. Dann mit der Anfangsbedingung [mm] u^{(0)}=0 [/mm] nach A aufgelöst. So bekomme ich aber [mm] \bruch{1}{3} [/mm] für A raus. Was mach ich da noch falsch??
Also, hier mein Rechenweg:
[mm] (3Ae^{3x}+3Ae^{-3x})^{2}-9u^{2}=4
[/mm]
nach u aufgelöst:
[mm] u=\pm \wurzel{\bruch{4-(3Ae^{3x}+3Ae^{-3x})^{2}}{9}}
[/mm]
und für u(0)=0 bekomm ich dann [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
Ich hoffe mit kann jemand helfen! Danke!!!!!!!!!!!!
Gruß Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:16 Do 13.09.2007 | | Autor: | polyurie |
Oh, mir ist eben aufgefallen das die Lösung [mm] A=\bruch{1}{3} [/mm] goldrichtig ist. Entschuldigung falls ich für Verwirrung gesorgt habe. Und nochmal danke für die Hilfe!!!
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