Dgl - Substitution < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechnen Sie zu gegebenem [mm] \omega>0 [/mm] die allgemeine Lösung von
[mm] x^{(4)}+\omega^2x''=0,
[/mm]
sowohl durch Betrachtung der charakteristischen Gleichung 4. Grades wie durch Substitution z(t)=x''(t) |
[mm] x^{(4)}+\omega^2x''=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda^4+\omega^2*\lambda^2=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=0
[/mm]
[mm] \lambda_{3/4}=+-i*\omega
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x(t)=C_1+C_2*t+C_3*cos(\omega*t)+C_4*sin(\omega*t)
[/mm]
ich weiß jetzt nicht wie ich das durch substitution lösen soll:
z(t)=x''(t)
leite ich die gleichung nun ab?
z'(t)=x'''(t)
ich weiß nicht wie mir das helfen soll. wie löse ich nun die aufgabe durch substitution?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 So 29.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie zu gegebenem [mm]\omega>0[/mm] die allgemeine Lösung
> von
>
> [mm]x^{(4)}+\omega^2x''=0,[/mm]
>
> sowohl durch Betrachtung der charakteristischen Gleichung
> 4. Grades wie durch Substitution z(t)=x''(t)
>
> [mm]x^{(4)}+\omega^2x''=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\lambda^4+\omega^2*\lambda^2=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{3/4}=+-i*\omega[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]x(t)=C_1+C_2*t+C_3*cos(\omega*t)+C_4*sin(\omega*t)[/mm]
>
> ich weiß jetzt nicht wie ich das durch substitution lösen
> soll:
>
> z(t)=x''(t)
>
> leite ich die gleichung nun ab?
>
> z'(t)=x'''(t)
>
> ich weiß nicht wie mir das helfen soll. wie löse ich nun
> die aufgabe durch substitution?
Nochmal ableiten: [mm] $z''=x^{(4)}$
[/mm]
Dann bekommst Du eine Dgl. 2. Ordnung für z
FRED
>
|
|
|
| |
|
z(t)=x''(t)
[mm] z''(t)+\omega^2*z(t)=0
[/mm]
[mm] \lambda^2+\omega^2=0
[/mm]
[mm] \lambda_{1/2}=+-i*\omega
[/mm]
[mm] z(t)=C_1*cos(\omega*t)+C_2*sin(\omega*t)
[/mm]
[mm] x''(t)=C_1*cos(\omega*t)+C_2*sin(\omega*t)
[/mm]
[mm] x(t)=\bruch{-C_1*cos(\omega*t)}{\omega^2}-\bruch{C_2*sin(\omega*t)}{\omega^2}+C_3*t+C_4
[/mm]
ist verstehe den sinn der aufgabe nicht ganz. wieso habe ich die aufgabe nun zweimal mit anderen methoden gelöst?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 So 29.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> z(t)=x''(t)
>
> [mm]z''(t)+\omega^2*z(t)=0[/mm]
>
> [mm]\lambda^2+\omega^2=0[/mm]
>
> [mm]\lambda_{1/2}=+-i*\omega[/mm]
>
> [mm]z(t)=C_1*cos(\omega*t)+C_2*sin(\omega*t)[/mm]
>
> [mm]x''(t)=C_1*cos(\omega*t)+C_2*sin(\omega*t)[/mm]
>
> [mm]x(t)=\bruch{-C_1*cos(\omega*t)}{\omega^2}-\bruch{C_2*sin(\omega*t)}{\omega^2}+C_3*t+C_4[/mm]
>
> ist verstehe den sinn der aufgabe nicht ganz.
> wieso habe
> ich die aufgabe nun zweimal mit anderen methoden gelöst?
Weil der Aufgabebsteller das so wollte ....
FRED
>
>
|
|
|
|
