Determinate Vektor 3x2 < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bilde das vektorielle Produkt aus [mm]\vec c [/mm] und [mm]\vec d[/mm]
sowie [mm]\vec d[/mm] und [mm]\vec c[/mm] mit Hilfe der Determinante.
[mm]\vec c[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 12 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm]\vec d[/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}
[/mm]
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Hallo Forengemeinde 
ich will die oben genannte Aufgabe berechnen. Allerdings habe ich keinen Schimmer wie ich von zwei Vektoren die Determinate finden soll?
Bei 3x3 ist es ja klar.
Vorher noch eine VerständnissFrage, vektorielle Produkt = Kreuzprodukt?
Hoffe auf Hilfe, Vielen Dank.
Viele Grüße
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> Bilde das vektorielle Produkt aus [mm]\vec c[/mm] und [mm]\vec d[/mm]
> sowie [mm]\vec d[/mm] und [mm]\vec c[/mm] mit Hilfe der Determinante.
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> [mm]\vec c[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} 12 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
> [mm]\vec d[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 10 \\ -5 \end{pmatrix}[/mm]
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> Hallo Forengemeinde
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> ich will die oben genannte Aufgabe berechnen. Allerdings
> habe ich keinen Schimmer wie ich von zwei Vektoren die
> Determinate finden soll?
> Bei 3x3 ist es ja klar.
>
> Vorher noch eine VerständnissFrage, vektorielle Produkt =
> Kreuzprodukt?
>
> Hoffe auf Hilfe, Vielen Dank.
>
> Viele Grüße
Hallo,
man kann das Vektorprodukt von zwei Vektoren a und b
folgendermaßen als Determinante schreiben:
[mm] $\vec{a}\times\vec{b}\ [/mm] =\ [mm] \vmat{a_x&b_x&\vec{e_x}\\a_y&b_y&\vec{e_y}\\a_z&b_z&\vec{e_z}}$
[/mm]
Dabei ist z.B. [mm] $\vec{e_x}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{1\\0\\0}$
[/mm]
LG Al-Chw.
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hallo Al-Chwarizmi ,
Vielen Dank für deine Antwort.
det = [mm] \vmat{12&-2&1 \\-3&10&0 \\5 &-5&0} [/mm]
= -35 = vektorielle Produkt aus $ [mm] \vec [/mm] c $ und $ [mm] \vec [/mm] d $
Kommt der Einheitsverktor immer ans Ende?
bei Wiki stehts nämlich so:
det [mm] \vmat{\vec{e_x}&b_x&a_x\\\vec{e_y}&b_y&a_y\\\vec{e_z}&b_z&a_z} [/mm]
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 25.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
die antwort kannst du selbst finden: was ändert sich wenn mna 2 Spalten einer Det vertauscht?
oder rechne es mal nach wiki mal nach Al-Chwarizmi
Gruss leduart
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Hallo leduart,
ah ja, wenn ich richtig gerechnet habe, verändert sich nichts
Aber wenn ich c und d vertausche?
vektorielle Produkt aus $ [mm] \vec [/mm] c $ und $ [mm] \vec [/mm] d $ = -35
$ [mm] \vec [/mm] d $ und $ [mm] \vec [/mm] c $ = 35
Stimmt das so?
Viele Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:46 Do 25.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das Vektorprodukt [mm] a\times [/mm] b= [mm] -b\times [/mm] a ist richtig.
Aber das Vektorprodukt ist ein Vektor, nicht ne Zahl!
du hast wohl die x Komponente deines Vektorprodukts gemeint?
Gruss leduart
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| Aufgabe | Bilde das vektorielle Produkt aus $ [mm] \vec [/mm] c $ und $ [mm] \vec [/mm] d $
sowie $ [mm] \vec [/mm] d $ und $ [mm] \vec [/mm] c $ mit Hilfe der Determinante. |
Hallo,
bin jetzt ein wenig verwirrt... obendrüber ist ja
die Aufgabenstellung. Wie rechne ich das denn aus um die Aufgabe korrekt zu lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 Do 25.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast die x komp. also die Unterdet. zu [mm] e_x [/mm] richtig. jetzt die y und z Komponente, also die unterdet. die zu den ensprechenden [mm] e_y, e_z [/mm] gehören.
Gruss leduart
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Hallo,
verktorielle Produkt = $ [mm] \begin{pmatrix} -35 \\ 50 \\ 114 \end{pmatrix} [/mm] $
so oder?
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> Hallo,
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> verktorielle Produkt = [mm]\begin{pmatrix} -35 \\ 50 \\ 114 \end{pmatrix}[/mm] ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> so oder?
das stimmt.
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Hallo,
oh achso.
$ [mm] \vmat{12&-2&\vec{e_x} \\-3&10&\vec{e_y} \\5 &-5&\vec{e_z}} [/mm] $
$ [mm] \vec{e_x}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] $ ; $ [mm] \vec{e_y}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{0\\1\\0} [/mm] $ ; $ [mm] \vec{e_z}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{0\\0\\1} [/mm] $
Also so zu verstehen?
Jetzt weiß ich aber immernoch nicht, wie ich das vektorielle Produkt mit Hilfe der Determinante ausrechne?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:37 Do 25.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> oh achso.
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> [mm]\vmat{12&-2&\vec{e_x} \\-3&10&\vec{e_y} \\5 &-5&\vec{e_z}}[/mm]
>
> [mm]\vec{e_x}\ =\ \vektor{1\\0\\0}[/mm] ; [mm]\vec{e_y}\ =\ \vektor{0\\1\\0}[/mm]
> ; [mm]\vec{e_z}\ =\ \vektor{0\\0\\1}[/mm]
>
> Also so zu verstehen?
>
> Jetzt weiß ich aber immernoch nicht, wie ich das
> vektorielle Produkt mit Hilfe der Determinante ausrechne?
[mm] 12*10*\vec{e_z}+(-2)*\vec{e_y}*5+\vec{e_x}*(-3)*(-5) [/mm] MINUS [mm] (\vec{e_x}*10*5 [/mm] + [mm] 12*\vec{e_y}*(-5)+(-2)*(-3)*\vec{e_z} [/mm] )
siehe "Regel von Sarrus".
Gruß Abakus
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Hallo Abakus,
das weiß ich ja, "Regel von Sarrus".
$ [mm] 12\cdot{}10\cdot{}\vec{e_z}+(-2)\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}5+\vec{e_x}\cdot{}(-3)\cdot{}(-5) [/mm] $ MINUS $ [mm] (\vec{e_x}\cdot{}10\cdot{}5 [/mm] $ + $ [mm] 12\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}(-5)+(-2)\cdot{}(-3)\cdot{}\vec{e_z} [/mm] $ )
Weiß aber nicht, wie ich [mm] \vec{e_z}, \vec{e_y}, \vec{e_x} [/mm] in der Regel/Formel "verarbeiten" soll?!
Viele Grüße
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> Hallo Abakus,
>
> das weiß ich ja, "Regel von Sarrus".
>
>
> [mm]12\cdot{}10\cdot{}\vec{e_z}+(-2)\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}5+\vec{e_x}\cdot{}(-3)\cdot{}(-5)[/mm]
> MINUS [mm](\vec{e_x}\cdot{}10\cdot{}5+12\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}(-5)+(-2)\cdot{}(-3)\cdot{}\vec{e_z})[/mm]
>
> Weiß aber nicht, wie ich [mm]\vec{e_z}, \vec{e_y}, \vec{e_x}[/mm]
> in der Regel/Formel "verarbeiten" soll?!
>
> Viele Grüße
Na, z.B. der allererste Summand ist $\ [mm] 12*10*\vec{e_z}\ [/mm] =\ [mm] 120*\vektor{0\\0\\1}\ [/mm] =\ [mm] \vektor{0\\0\\120}$
[/mm]
Nachher hast du eine Summe von Vektoren zu einem
Vektor zusammenzufassen.
LG
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Hallo,
ah Okay.
Ich hab die Terme mal einzeln ausgerechnet, hoffe richtig?
[mm] 12\cdot{}10\cdot{}\vec{e_z} [/mm] = 120
[mm] +(-2)\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}5 [/mm] = -10
[mm] +\vec{e_x}\cdot{}(-3)\cdot{}(-5) [/mm] = 15
MINUS
[mm] (\vec{e_x}\cdot{}10\cdot{}5 [/mm] = 50
[mm] +12\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}(-5) [/mm] =-60
[mm] +(-2)\cdot{}(-3)\cdot{}\vec{e_z}) [/mm] = 6
Wie rechne ich dann weiter?
so? 120 - 50 ; -10 -60 ; 15 -6 ;
Vektor wäre ja dann:
[mm] \vektor{9\\-70\\70}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Do 25.02.2010 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ah Okay.
> Ich hab die Terme mal einzeln ausgerechnet, hoffe
> richtig?
> [mm]12\cdot{}10\cdot{}\vec{e_z}[/mm] = 120
Nein, 120 [mm] \vec{e_z}
[/mm]
> [mm]+(-2)\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}5[/mm] = -10
Nein, -10 [mm] \vec{e_y}
[/mm]
> [mm]+\vec{e_x}\cdot{}(-3)\cdot{}(-5)[/mm] = 15
15 [mm] \vec{e_x}
[/mm]
> MINUS
> [mm](\vec{e_x}\cdot{}10\cdot{}5[/mm] = 50
[mm] 50\vec{e_x}
[/mm]
> [mm]+12\cdot{}\vec{e_y}\cdot{}(-5)[/mm] =-60
-60 [mm] \vec{e_y}
[/mm]
> [mm]+(-2)\cdot{}(-3)\cdot{}\vec{e_z})[/mm] = 6
6 [mm] \vec{e_z}
[/mm]
>
> Wie rechne ich dann weiter?
> so? 120 - 50 ; -10 -60 ; 15 -6 ;
Leider nein.
RICHTIGE Vielfache der drei Einheitsvektoren zusammenfassen; beim zweiten Mal aufpassen,
dass -(-60) gleich +60 ist:
[mm] (15-50)\vec{e_x}
[/mm]
[mm] (-10-(-60))\vec{e_y}
[/mm]
[mm] (120-6)\vec{e_z}
[/mm]
Ergebnis:
[mm] -35\vec{e_x}+50\vec{e_y}+114\vec{e_z}=[/mm] [mm]\vektor{-35\\50\\114}[/mm]
Gruß Abakus
>
> Vektor wäre ja dann:
>
> [mm]\vektor{9\\-70\\70}[/mm]
>
>
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Hallo,
da hätte ich selbst draufkommen müssen $ [mm] \vec{e_z} [/mm] $ zu $ [mm] \vec{e_z} [/mm] $ usw...
Aber jetzt weiß ich ja bescheid wie so etwas mit Hilfe der Determinante zu Rechnen ist. Anders ist natürlich etwas angenehmer...
Vielen Dank an alle die mir geholfen haben!!!
Einen schönen Abend wünsche ich noch.
Viele Grüße
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> hallo Al-Chwarizmi ,
>
> Vielen Dank für deine Antwort.
>
> det = [mm]\vmat{12&-2&1 \\-3&10&0 \\5 &-5&0}[/mm]
So war das allerdings nicht gemeint, sondern:
det = [mm]\vmat{12&-2&\vec{e_x} \\-3&10&\vec{e_y} \\5 &-5&\vec{e_z}}[/mm]
Dabei sind die [mm] \vec{e_x}, \vec{e_y},\vec{e_z} [/mm] immer noch Dreiervektoren !
>
> = -35 = vektorielle Produkt aus [mm]\vec c[/mm] und [mm]\vec d[/mm]
> Kommt der Einheitsvektor immer ans Ende?
Zyklische Vertauschung der Spalten- oder auch
der Zeilenvektoren verändert die Determinante nicht.
Vertauschung von zwei Vektoren ändert das Vorzeichen.
> bei Wiki stehts nämlich so:
>
> det
> [mm]\vmat{\vec{e_x}&b_x&a_x\\\vec{e_y}&b_y&a_y\\\vec{e_z}&b_z&a_z}[/mm]
>
> Viele Grüße
LG Al-Chw.
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