Determinate Berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 & -3 \\ 3 & 0 & -1 & 1\\ 2 & 2 & -2 & 5} [/mm] |
Ich soll die Determinante diese Matrix berechen, nur wie mache ich das?
Bei n x n Matrizen kann man angeblich so lange den Gauß anwenden, bis unter der Mitteldiagonalen nur noch Nullen stehen (unter Dreiecksmatrix) und dann die Elemente der Mitteldiagonalen miteinander multiplizieren.....
.... wenn es wirklich so geht, kann das aber nur ein Teil der Wahrheit sein, denn ich könnte den Gauß auch so lange fortführen bis ich eine Einheitsmatrix erzeugt habe, welche in jedem Fall auch eine untere Dreicksmatrix ist und dann ist meine Determinante 1 und zwar für jede n x n Matrix und das kann ja wohl nicht sein?!
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Hallo, hier kannst du doch wunderschön nach der 3. Spalte entwickeln, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Hallo, hier kannst du doch wunderschön nach der 3. Spalte entwickeln, Steffi |
Ja könntest du mir erklären was ich da tun muss? Mir ist bisher nur das Gauß-Prizip bekannt und das wir mir scheint auch nur fehlerhaft.
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Hallo ganzir,
> Hallo, hier kannst du doch wunderschön nach der 3. Spalte
> entwickeln, Steffi
> Ja könntest du mir erklären was ich da tun muss? Mir ist
> bisher nur das Gauß-Prizip bekannt und das wir mir scheint
> auch nur fehlerhaft.
Was Steffi meint, ist die Laplaceentwicklung nach der 3.Spalte.
Die solltet ihr gehabt haben, ansonsten schaue mal ![[]](/images/popup.gif) hier rein.
Die Streichmatrizen, die du erhältst, sind dann vom Format [mm] $3\times [/mm] 3$.
Deren Determinanten kannst du dann mit Sarrus berechnen.
Du kannst dir auch Rechenregeln für die Determinante zunutze machen (eine nette Zusammenstellung findest du zB. hier als pdf) und deine Ausgangsmatrix zunächst umformen.
Beachte aber, wie sich die Determinante bei einigen Umformungen "ändert"
Versuche mal, wie weit du kommst ...
LG
schachuzipus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:19 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 & -3 \\ 3 & 0 & -1 & 1\\ 2 & 2 & -2 & 5}[/mm]
>
> Ich soll die Determinante diese Matrix berechen, nur wie
> mache ich das?
>
> Bei n x n Matrizen kann man angeblich so lange den Gauß
> anwenden, bis unter der Mitteldiagonalen nur noch Nullen
> stehen (unter Dreiecksmatrix) und dann die Elemente der
> Mitteldiagonalen miteinander multiplizieren.....
>
> .... wenn es wirklich so geht, kann das aber nur ein Teil
> der Wahrheit sein, denn ich könnte den Gauß auch so lange
> fortführen bis ich eine Einheitsmatrix erzeugt habe,
Dann mach das mal mit
$ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5} [/mm] $
oder mit
$ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
FRED
> welche
> in jedem Fall auch eine untere Dreicksmatrix ist und dann
> ist meine Determinante 1 und zwar für jede n x n Matrix und
> das kann ja wohl nicht sein?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Dann mach das mal mit
$ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5} [/mm] $
oder mit
$ [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] $
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Da würde die Determinante dann 0
Aber die Determinante einer n x n Matrix kann doch nicht nur 1 oder 0 sein oder doch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Das
" ..........und dann ist meine Determinante 1 und zwar für jede n x n Matrix und das kann ja wohl nicht sein?! "
hast Du oben geschrieben. Siehst Du jetzt, dass das Unfug war ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Das
" ..........und dann ist meine Determinante 1 und zwar für jede n x n Matrix und das kann ja wohl nicht sein?! "
hast Du oben geschrieben. Siehst Du jetzt, dass das Unfug war ? |
Ja war es .... aber ich habe mir mal online eine Determinante ausrechnen lassen und da kam -9 raus wie kann ich es denn -9 werden wenn wir hier nur auf 0 oder 1 kommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Das
>
>
> " ..........und dann ist meine Determinante 1 und zwar für
> jede n x n Matrix und das kann ja wohl nicht sein?! "
>
> hast Du oben geschrieben. Siehst Du jetzt, dass das Unfug
> war ?
> Ja war es .... aber ich habe mir mal online eine
> Determinante ausrechnen lassen und da kam -9 raus wie kann
> ich es denn -9 werden wenn wir hier nur auf 0 oder 1
> kommen?
Wer sagt das denn ??
$ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5} [/mm] $
hat Determinante = ????
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | Wer sagt das denn ??
$ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5} [/mm] $
hat Determinante = ???? |
Ich glaube wir reden aneinander vorbei.
Also nochmal:
Mir wurde gesagt, dass ich die Determinante einer n x n Matrix berechnen kann, in dem ich den Gauß so lange anwende, bis ich unter der Hauptdiagonalen nur noch Nullen stehen habe. Dann Multipliziere ich die Elemente der Hauptdiagonalen mit einander und erhalte den Wert für die Determinaten.
Um dir zu verdeutlichen wo mein Verständnisproblem liegt nehme ich einfach mal dein Beispiel:
$ [mm] \pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5} [/mm] $
Stimmt hier ist schon alles 0 unter der HD Also 2 [mm] \cdot [/mm] 8 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot [/mm] 5 = 80
So nur könnte ich aber den Gauß anwenden und die erste Zeile duch 2 dividieren, die zweite durch 8 und die vierte durch 5.
Gemäß dem Schema das ich gelernt habe also nichts illegitimes und nun ist meine Determinante 1, und da 1 [mm] \not= [/mm] 80 ist, kann an dieser Methode doch irgendwas nicht stimmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
> Wer sagt das denn ??
>
>
>
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5}[/mm]
>
>
> hat Determinante = ????
> Ich glaube wir reden aneinander vorbei.
Nein. s.u.
>
> Also nochmal:
>
> Mir wurde gesagt, dass ich die Determinante einer n x n
> Matrix berechnen kann, in dem ich den Gauß so lange
> anwende, bis ich unter der Hauptdiagonalen nur noch Nullen
> stehen habe. Dann Multipliziere ich die Elemente der
> Hauptdiagonalen mit einander und erhalte den Wert für die
> Determinaten.
Soweit O.K.
>
> Um dir zu verdeutlichen wo mein Verständnisproblem liegt
> nehme ich einfach mal dein Beispiel:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5}[/mm]
>
> Stimmt hier ist schon alles 0 unter der HD Also 2 [mm]\cdot[/mm] 8
> [mm]\cdot[/mm] 1 [mm]\cdot[/mm] 5 = 80
O.K.
>
> So nur könnte ich aber den Gauß anwenden und die erste
> Zeile duch 2 dividieren, die zweite durch 8 und die vierte
> durch 5.
Jetzt sehe ich wo es klemmt !
>
> Gemäß dem Schema das ich gelernt habe also nichts
> illegitimes
Doch, genau das ist nicht legitim ! Wenn Du wie oben vorgehst , berechnest Du die Det. einer anderen Matrix !!
Beispiel :
[mm] det\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 4 } [/mm] = 4, [mm] det\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1} [/mm] = 1
FRED
> und nun ist meine Determinante 1, und da 1
> [mm]\not=[/mm] 80 ist, kann an dieser Methode doch irgendwas nicht
> stimmen.
Ja, denn Du hast etwas mißverstanden. Ist es jetzt klar ?
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Ja, denn Du hast etwas mißverstanden. Ist es jetzt klar ? |
Das ich etwas mißverstanden habe, ist mir jetzt klar.
Könntest du mir auch noch erklären wie es richtig ist?
Nehmen wir nochmal meine Matrix vom Anfang:
$ [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 & -3 \\ 3 & 0 & -1 & 1\\ 2 & 2 & -2 & 5} [/mm] $
So nun muss ich unter der Hauptdiagonalen Nullen erzeugen und sobald dies geschehen ist die Elemente auf der Hauptdiagonalen miteinander multiplizieren.
Dabei gehe ich so vor:
Ich teile die erste Spalte durch 2, da das erste Element der ersten Spalte 2 ist. Nun steht dort also eine 1 Mit dieser 1 will heißen mit einem Vielfachen oder Bruchteil der ersten Spalte bringe ich nun alle anderen Elemente in der ersten Spalte auf 0.
Soweit ich dich verstanden habe, darf man nicht dividieren, da dann eine neue Matrix entsteht. Wenn ich aber nicht dividieren darf, wie bekomme ich denn dann z.B. die 3 in der ersten Spalte weg?
Das dumme ist das uns nur ein ganz einfaches Beispiel gezeigt wurde, dass auf keine meiner Fragen eine Antwort liefert, und das ging so:
$ [mm] det\pmat{ a & b & c & d \\ -a & b & x & y \\ -a & -b & c & z\\ -a & -b & -c & d} [/mm] $
= [mm] det\pmat{ a & b & c & d \\ 0 & 2b & x+c & y+d \\ 0 & 0 & 2c & z+d\\ 0 & 0 & 0 & 2d} [/mm]
= a [mm] \cdot [/mm] 2b [mm] \cdot [/mm] 2c [mm] \cdot [/mm] 2d = 8abcd
NEIN WIE TOLL .... nur beschleicht mich das dumme Gefühl, dass ich die Determinante jeder Matrix nicht dadruch ausrechnen, kann, dass ich zu allen anderen Zeilen einfach nur die erste hinzuaddiere.
Was wäre denn jetzt wenn da
$ [mm] det\pmat{ 730a & b & c & d \\ -a & b & x & y \\ -a & -b & c & z\\ -a & -b & -c & d} [/mm] $
Stünde???? Ich darf nicht dividieren, wie du sagtest ... wie soll ich die anderen "a" dann zu Nullen machen? Heißt das der Gauß geht nur dann wenn das so aussieht wie in dem Beispiel und sonst muss man was anderes machen?
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Hallo
>
> Nehmen wir nochmal meine Matrix vom Anfang:
>
> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & 0 & -3 \\ 3 & 0 & -1 & 1\\ 2 & 2 & -2 & 5}[/mm]
>
> So nun muss ich unter der Hauptdiagonalen Nullen erzeugen
> und sobald dies geschehen ist die Elemente auf der
> Hauptdiagonalen miteinander multiplizieren.
>
> Dabei gehe ich so vor:
>
> Ich teile die erste Spalte durch 2, da das erste Element
> der ersten Spalte 2 ist. Nun steht dort also eine 1 Mit
> dieser 1 will heißen mit einem Vielfachen oder Bruchteil
> der ersten Spalte bringe ich nun alle anderen Elemente in
> der ersten Spalte auf 0.
>
> Soweit ich dich verstanden habe, darf man nicht dividieren,
> da dann eine neue Matrix entsteht. Wenn ich aber nicht
> dividieren darf, wie bekomme ich denn dann z.B. die 3 in
> der ersten Spalte weg?
>
> Das dumme ist das uns nur ein ganz einfaches Beispiel
> gezeigt wurde, dass auf keine meiner Fragen eine Antwort
> liefert, und das ging so:
>
> [mm]det\pmat{ a & b & c & d \\ -a & b & x & y \\ -a & -b & c & z\\ -a & -b & -c & d}[/mm]
>
> = [mm]det\pmat{ a & b & c & d \\ 0 & 2b & x+c & y+d \\ 0 & 0 & 2c & z+d\\ 0 & 0 & 0 & 2d}[/mm]
>
> = a [mm]\cdot[/mm] 2b [mm]\cdot[/mm] 2c [mm]\cdot[/mm] 2d = 8abcd
>
> NEIN WIE TOLL .... nur beschleicht mich das dumme Gefühl,
> dass ich die Determinante jeder Matrix nicht dadruch
> ausrechnen, kann, dass ich zu allen anderen Zeilen einfach
> nur die erste hinzuaddiere.
>
> Was wäre denn jetzt wenn da
>
>
> [mm]det\pmat{ 730a & b & c & d \\ -a & b & x & y \\ -a & -b & c & z\\ -a & -b & -c & d}[/mm]
>
> Stünde???? Ich darf nicht dividieren, wie du sagtest ...
> wie soll ich die anderen "a" dann zu Nullen machen? Heißt
> das der Gauß geht nur dann wenn das so aussieht wie in dem
> Beispiel und sonst muss man was anderes machen?
Naja, zwei Zeilen miteinander Dividieren kannst du natürlich nicht.. aber du kannst zur einen Zeile ein Vielfaches einer anderen hinzuaddieren...
Du kannst also in der zweiten Zeile eine 0 an erster Stelle erreichen, in dem du Z2 + [mm] \bruch{1}{730}*Z1 [/mm] rechnest.
(Z1 0 Zeile 1, Z2 = Zeile 2)
In diesem Fall benutzt du ein Vielfaches von [mm] \bruch{1}{730} [/mm] und die Determinante ändert sich dadurch nicht! :)
Grüsse, Arcesius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Di 26.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Ergänzung: eine Regel:
$det(rA) = r^ndetA$ für alle [mm] n\times [/mm] n Matrizen A und alle Skalare r.
Siehe auch:
http://de.wikipedia.org/wiki/Determinantenfunktion
FRED
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Hallo
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> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5}[/mm]
>
>
> hat Determinante = ????
> Ich glaube wir reden aneinander vorbei.
>
> Also nochmal:
>
> Mir wurde gesagt, dass ich die Determinante einer n x n
> Matrix berechnen kann, in dem ich den Gauß so lange
> anwende, bis ich unter der Hauptdiagonalen nur noch Nullen
> stehen habe. Dann Multipliziere ich die Elemente der
> Hauptdiagonalen mit einander und erhalte den Wert für die
> Determinaten.
>
> Um dir zu verdeutlichen wo mein Verständnisproblem liegt
> nehme ich einfach mal dein Beispiel:
>
> [mm]\pmat{ 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 & 0 \\ 0& 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 5}[/mm]
>
> Stimmt hier ist schon alles 0 unter der HD Also 2 [mm]\cdot[/mm] 8
> [mm]\cdot[/mm] 1 [mm]\cdot[/mm] 5 = 80
>
> So nur könnte ich aber den Gauß anwenden und die erste
> Zeile duch 2 dividieren, die zweite durch 8 und die vierte
> durch 5.
>
> Gemäß dem Schema das ich gelernt habe also nichts
> illegitimes und nun ist meine Determinante 1, und da 1
> [mm]\not=[/mm] 80 ist, kann an dieser Methode doch irgendwas nicht
> stimmen.
>
>
Das Problem ist nun, dass du bei zeilenoperationen die Determinante anpassen musst.
D.h. multiplizierst du eine zeile mit einem Skalar, so musst du die Determinante entsprechend auch mit diesem Skalar multiplizieren.
An deinem Beispiel bezeichnen wir mal die Matirx mit A und die Einheitsmatrix mit E.
Die Determinante von A ist wie von dir ausgerechnet det(A) = 80.
Die Determinante von E ist det(E) = 1.
Wenn du jetzt E aus A erhalten willst, so multiplizierst du ja jede Zeile mit dem Kehrwehrt des jeweiligen Pivots, um jedes Pivot auf 1 zu bringen. Diese Skalare die du da verwendest, musst du aber beachten, wenn du die Determinante deiner neuen Matrix berechnen möchtest!
z.B det(A) = [mm] \vmat{ 1*5 & 0 \\ 0 & 1*4} [/mm] = 20 = 4*5*det(E) mit E = [mm] \vmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
Deine Faktoren kommen also dann zu der Determinante dazu... Wenn du also die Zeilen in deinem Beispiel durch 2 bzw. durch 8 bzw. durch 5 dividierst, kommen diese Faktoren am Schluss zur Determinanten der Einheitsmatrix hinzu.
Grüsse, Arcesius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:28 Di 26.05.2009 | | Autor: | ganzir |
Hallo ....
danke genau das wollte ich wissen, das löst mein Problem Danke.
Gruß
Ganzir
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