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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Do 08.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Matix A= [mm] \pmat{ p & 4 &6 \\ 4& 8 & 2\\6 & 2 & q } [/mm] mit den reellen Parametern p,q
Bestimme mit Hilfe des Determinantenkriteriums für welche p und q, A positiv definit ist. |
Kann mir jemand mal genau erklären, was das Determinantenkriterium eigentlich ist.
Ich finde dazu lauter unterschiedliche Definitionen.
Aber erstmal zu meinen Überlegungen.
Ein quadratische symmetrische Matrix ist dann positiv definit wenn alle Eigenwerte größer Null sind.
Nur ist es nicht einfach die Eigenwerte mit den Parametern zu bestimmen.
Dann habe ich gelesen, dass eine 3x3 Matrix dann positiv definit ist wenn
[mm] a_1 [/mm] > 0 ist ( hier muss dann also p > 0 sein ), [mm] a_1*b_2-a_2*b_1 [/mm] > 0 ist ( das wäre dann 8p - 16 ; also müsste p auch größer 2 sein) und als letztes muss auch det(A) > 0 sein.
det(A)= 4(2pq - p - 16q - 48)
Wie kann ich jetzt p q am besten so wählen das A posiiv definit ist???
Danke schonmal
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Hallo Marc,
das sieht doch schon ganz gut aus.
> Wie kann ich jetzt p q am besten so wählen das A posiiv
> definit ist???
Das ginge zwar einfach (z.B. p=16, q=5, sofern Deine Rechnung stimmt), aber es ist nicht die Frage. Du sollst ja nicht ein Wertepaar bestimmen, sondern alle.
Zum Determinantenkriterium findest Du z.B. ![[]](/images/popup.gif) hier etwas.
> det(A)= 4(2pq - p - 16q - 48) [mm] \blue{>0}
[/mm]
Tja, das musst Du wohl noch nach q auflösen und unter der Voraussetzung p>2 betrachten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Do 08.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
Danke erst einmal.
Da steht jetzt ja, daß alle Unterdeterminanten > 0 seien müssen.
Das ist aber nicht der Fall. Kann ich die Aufgabe also nicht lösen?
Auch wenn ich det(A) mit p>2 berechenen will, funktioniert das nicht wirklich.
Ich komm da irgendwie nicht weiter.
Ach ja, die korrekte Formel lautet auch :
det(A)= 4(2pq - p - 4q - 48)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:05 Do 08.07.2010 | | Autor: | wieschoo |
Hi,
ich schreib dir das noch einmal übersichtlich hin:
[mm]p>0[/mm]
[mm] $8p-16>0\gdw [/mm] p>2$
[mm] $8pq-4p-16q-184>0\gdw q>\frac{184+4p}{8p-16}$
[/mm]
[edit]
Eventuell kannst du auch eine kongruente Matrix konstruieren:
[mm]\left( \begin {array}{ccc} p&0&0\\ \noalign{\medskip}0&-16\,{p}^{-1}+
8&-24\,{p}^{-1}+2\\ \noalign{\medskip}0&-24\,{p}^{-1}+2&-36\,{p}^{-1}+
q\end {array} \right)\cdot \left( \begin {array}{ccc} p&4&6\\ \noalign{\medskip}4&8&2
\\ \noalign{\medskip}6&2&q\end {array} \right)
\cdot \left( \begin {array}{ccc} p&0&0\\ \noalign{\medskip}0&-16\,{p}^{-1}+
8&-24\,{p}^{-1}+2\\ \noalign{\medskip}0&-24\,{p}^{-1}+2&-36\,{p}^{-1}+
q\end {array} \right) = \left( \begin {array}{ccc} p&0&0\\ \noalign{\medskip}0&-16\,{p}^{-1}+
8&-24\,{p}^{-1}+2\\ \noalign{\medskip}0&-24\,{p}^{-1}+2&-36\,{p}^{-1}+
q\end {array} \right)
[/mm]
[mm] \left( \begin {array}{ccc} p&0&0\\ \noalign{\medskip}0&-16\,{p}^{-1}+
8&0\\ \noalign{\medskip}0&0& \left( 24\,{p}^{-1}-2 \right) \left( -24
\,{p}^{-1}+2 \right) \left( -16\,{p}^{-1}+8 \right) ^{-1}-36\,{p}^{-1
}+q\end {array} \right)
\cdot \left( \begin {array}{ccc} p&0&0\\ \noalign{\medskip}0&-16\,{p}^{-1}+
8&-24\,{p}^{-1}+2\\ \noalign{\medskip}0&-24\,{p}^{-1}+2&-36\,{p}^{-1}+
q\end {array} \right) \cdot \left( \begin {array}{ccc} p&0&0\\ \noalign{\medskip}0&-16\,{p}^{-1}+
8&0\\ \noalign{\medskip}0&0& \left( 24\,{p}^{-1}-2 \right) \left( -24
\,{p}^{-1}+2 \right) \left( -16\,{p}^{-1}+8 \right) ^{-1}-36\,{p}^{-1
}+q\end {array} \right) =\green{\left( \begin {array}{ccc} p&0&0\\ \noalign{\medskip}0&{\frac {-16+8
\,p}{p}}&0\\ \noalign{\medskip}0&0&{\frac { \left( -1+2\,q \right) p-
48-4\,q}{-4+2\,p}}\end {array} \right) }
[/mm]
[mm]\green{\left( \begin {array}{ccc} p&0&0\\ \noalign{\medskip}0&{\frac {-16+8
\,p}{p}}&0\\ \noalign{\medskip}0&0&{\frac { \left( -1+2\,q \right) p-
48-4\,q}{-4+2\,p}}\end {array} \right) }[/mm]
Ob das einfacher ist, wag ich aber zu bezweifeln:
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:43 Mi 14.07.2010 | | Autor: | marc1001 |
Vielen Dank!!!
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