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| Aufgabe | Sei [mm] \Delta: V^{n} \to [/mm] K eine beliebige nicht-triviale Determinantenfunktion mit n [mm] \ge [/mm] 1. Wahr oder falsch:
(1) [mm] \Delta(x_{1},..,x_{n})=0 [/mm] für alle [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in V^{n} [/mm] mit [mm] x_{i}=x_{j} [/mm] für gewisse i < j
(2) [mm] \Delta(x_{1},..,x_{n})=- \Delta (x_{\tau(1)},...,x_{\tau(n)}) [/mm] für alle [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in V^{n} [/mm] und jede Transposition [mm] \tau [/mm] in [mm] S_{n}
[/mm]
(3) [mm] \Delta(x_{1},..,x_{n})= \Delta (x_{\pi(1)},...,x_{\pi(n)}) [/mm] für alle [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in V^{n} [/mm] und jede Permutation [mm] \pi \in A_{n}
[/mm]
(4) [mm] \Delta(x_{1},..,x_{n})=0 [/mm] für alle linear abhängigen Tupel [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in V^{n}
[/mm]
(5) [mm] \Delta(x_{1},..,x_{n}) \not= [/mm] 0 für alle linear unabhängigen Tupel [mm] (x_{1},...,x_{n}) \in V^{n} [/mm] |
Hallo
also meiner Meinung nach ist
(1) nach Definition von Determinantenfunktiom korrekt
(2) ist meiner meinung nach richtig wegen [mm] \Delta (...a_{i}...a_{j}...)=-\Delta (...a_{j}...a_{i}...), [/mm] d.h. [mm] \Delta [/mm] ändert bei Vertauschung zweier verschiedener Argumente das Vorzeichen.
(3) müsste richtig sein, weil [mm] \Delta (a_{\pi(1)},...,a_{\pi(n)})= [/mm] sgn [mm] \pi [/mm] * [mm] \Delta (a_{1},...,a_{n}) [/mm] für [mm] \pi \in S_{n}
[/mm]
auf aussage drei angewendet komme ich zu dem schluss das die aussage richtig ist, weill [mm] \pi [/mm] nur aus der menge der geraden permutationen kommt ist sgn [mm] \pi [/mm] immer ein Vielfaches von 1 und von daher kann erhält man [mm] \Delta (a_{\pi(1)},...,a_{\pi(n)})= [/mm] 1 * [mm] \Delta (a_{1},...,a_{n})= \Delta (a_{\pi(1)},...,a_{\pi(n)})= \Delta (a_{1},...,a_{n})
[/mm]
von daher müsste die aussage richtig sein.
(4)Laut Definition gilt für linear abhängige Systeme von Vektoren [mm] a_{1},..,a_{n} \in [/mm] V gilt [mm] \Delta(a_{1},..,a_{n})=0 [/mm] folglich ist die aussage korrekt.
(5)laut Definition ist auch satz 6 korrekt.
liege ich mit meiner Vermutung richtig?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:39 Mi 14.04.2010 | | Autor: | pelzig |
Deine Antworten sind alle richtig, nur bei (4) und (5) finde ich deine Begründung sehr schwach. Wie habt ihr denn die Determinante definiert? Warum folgt das direkt aus der Definition?
Übringens ist für [mm] $\pi\in A_n$ [/mm] die Zahl [mm] $\operatorname{sgn}(\pi)$ [/mm] nicht "Vielfaches von 1" sondern einfach 1.
Gruß, Robert
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Wir hatten als Anmerkung uns notiert, dass eine nicht-triviale Determinantenfunktion [mm] \Delta [/mm] für linear unabhängige [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] stets [mm] \Delta (x_{1},...,x_{n}) \not= [/mm] 0 und as ist ja genau, dass was ich für die Aussage 5 brauche und daher folgt es direkt aus der Definition...
als Determinatenfunktion haben wir eine multilineare alternierende abbildung bezeichnet und aus alternierend folgt doch schon (4) oder?
LG Schmetterfee
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Mi 14.04.2010 | | Autor: | pelzig |
> Wir hatten als Anmerkung uns notiert, dass eine
> nicht-triviale Determinantenfunktion [mm]\Delta[/mm] für linear
> unabhängige [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] stets [mm]\Delta (x_{1},...,x_{n}) \not=[/mm]
> 0 und as ist ja genau, dass was ich für die Aussage 5
> brauche und daher folgt es direkt aus der Definition...
Naja... wenn ihr es in der VL hattet ist es wohl okay. Ich weiß ehrlichgesagt gerade nicht wie man es zeigt.
> als Determinatenfunktion haben wir eine multilineare
> alternierende abbildung bezeichnet und aus alternierend
> folgt doch schon (4) oder?
Ja das stimmt. Hauptsache dir ist auch klar wie es genau folgt.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mi 14.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Wir hatten als Anmerkung uns notiert, dass eine
> > nicht-triviale Determinantenfunktion [mm]\Delta[/mm] für linear
> > unabhängige [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] stets [mm]\Delta (x_{1},...,x_{n}) \not=[/mm]
> > 0 und as ist ja genau, dass was ich für die Aussage 5
> > brauche und daher folgt es direkt aus der Definition...
> Naja... wenn ihr es in der VL hattet ist es wohl okay. Ich
> weiß ehrlichgesagt gerade nicht wie man es zeigt.
Eher trivial, wenn man die Multiplikativität schon hat - [m]det(E)=det(A)*det(A^{-1})[/m].
SEcki
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