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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Fr 23.03.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | 1 Warum ist die Determinantenfunktion stetig?
2.Beweis: [mm] GL_n (\IR) [/mm] ist offen in [mm] M_{n \times n } (\IR) =\IR^n)^2 [/mm] |
1.
Leibniz liefert ja [mm] \sum_{\sigma \in \sigma_n} sgn(\sigma) A_{1,\sigma(1)}...A_{n, \sigma(n)}
[/mm]
Determinante ist also eine Summe von Produkten der Matrixelemente.
Aber wie kommt man in dem Bezug auf den Begriff des Polynoms?
2. determinantenfunktionen det: M [mm] (\IK) [/mm] -> [mm] \IK
[/mm]
[mm] GL_n(\IR) [/mm] -> [mm] \IR [/mm] ohne [mm] \{0\}
[/mm]
[mm] GL_n(\IR) [/mm] = [mm] det^{-1}(\IR [/mm] ohne [mm] \{0\})
[/mm]
[mm] GL_n [/mm] ist also das Urbild der Menge [mm] \IR [/mm] ohne [mm] \{0\}
[/mm]
A [mm] \subseteq [/mm] M heißt offen wenn sie nur inneren Punkte enthält. A= [mm] A^o
[/mm]
d.h. A ist genau dann offen, wenn für jeden Punkt x [mm] \in [/mm] A eine Umgebung U(x) existiert so dass U(x) [mm] \subseteq [/mm] A
Also ist [mm] \IR [/mm] ohne [mm] \{0\} [/mm] offen.
Jetz muss ich "nur" noch beweisen, dass das Urbild einer offenen Menge offen ist.
Mein Beweis ist etwas umgangsprachlich, vlt kann mir wer helfen ihn aufzupeppen^^:
Sei f stetig, M [mm] \subseteq \IR^n [/mm] offen so ist zuzeigen, dass [mm] f^{-1} [/mm] (M) =N offen ist
Sei x [mm] \in f^{-1} [/mm] (M)
M ist offen also kann ich ein [mm] \varepsilon [/mm] so wählen, dass die [mm] \varepsilon-Kugel [/mm] um f(x) ganz in M liegt.
Wegen der Stetigkeit existiert ein geignetes [mm] \delta [/mm] um x, dass in [mm] f^{-1} [/mm] (U) =N liegt.
So findet man um jeden Punkt eine offene Kufel in [mm] f^{-1} [/mm] (U)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Sa 24.03.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Abbildung f: [mm] M_{n \times n } (\IR) =\IR^{n^2} \to \IR$, [/mm] f(A):=det(A) ist ein Polynom in [mm] n^2 [/mm] Variablen:
ist [mm] A=(a_{jk}), [/mm] so kannst Du auch schreiben
[mm] $f(A)=f(a_{11}, ...,a_{1n},....,a_{n1}, [/mm] ..., [mm] a_{nn})$
[/mm]
Zu 2.
Sei [mm] A_0 \in [/mm] $ [mm] GL_n (\IR) [/mm] $. Dann ist [mm] f(A_0) \ne [/mm] 0. Da f stetig ist, gibt es eine Umgebung U [mm] \subseteq M_{n \times n } (\IR) [/mm] von [mm] A_0 [/mm] mit:
f(A) [mm] \ne [/mm] 0 für alle A [mm] \in [/mm] U.
Dann ist aber U [mm] \subseteq GL_n (\IR)
[/mm]
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:55 Sa 24.03.2012 | | Autor: | sissile |
2)
Mit der Definition
. A ist genau dann offen, wenn für jeden Punkt x $ [mm] \in [/mm] $ A eine Umgebung U(x) existiert so dass U(x) $ [mm] \subseteq [/mm] $ A
Ist der Teil also erledigt?
3
Zeige, dass [mm] (\IR) [/mm] abgeschlossen in [mm] M_{n \times n} (\IR)=(\IR^n)^2 [/mm] ist.
Die Determinantenfunktion ist stetig.
f: [mm] M_{n \times n} (\IR) [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] f(A) = det(A)
Sei X [mm] \in SL_n (\IR) [/mm] dann ist f(X)=1.
WIe begründe ich nun?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:10 So 25.03.2012 | | Autor: | sissile |
> 3 Zeige, dass $ [mm] SL_n (\IR) [/mm] $ abgeschlossen in $ [mm] M_{n \times n} (\IR)=(\IR^n)^2 [/mm] $ ist.
Zu diesem hab ich im Net auch nur gefunden, den Beweis, indem man den anderen Beweis braucht, dass das Urbild einer abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist. Würde das aber auch gerne "auf die andere" Art lösen, wie du es gemacht hast und das mit dem Urbild umgehen. Nur kann man ja bei abgeschlossenheit nicht mit der Umgebung argumentieren..
Würd mich freuen, wen du mir da nochmal hilfst. danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 So 25.03.2012 | | Autor: | fred97 |
> > 3 Zeige, dass [mm]SL_n (\IR)[/mm] abgeschlossen in [mm]M_{n \times n} (\IR)=(\IR^n)^2[/mm]
> ist.
>
> Zu diesem hab ich im Net auch nur gefunden, den Beweis,
> indem man den anderen Beweis braucht, dass das Urbild einer
> abgeschlossenen Menge abgeschlossen ist. Würde das aber
> auch gerne "auf die andere" Art lösen, wie du es gemacht
> hast und das mit dem Urbild umgehen. Nur kann man ja bei
> abgeschlossenheit nicht mit der Umgebung argumentieren..
> Würd mich freuen, wen du mir da nochmal hilfst. danke
Nimm eine konvergente Folge [mm] (A_k) [/mm] aus [mm]SL_n (\IR)[/mm] mit [mm] A_k \to [/mm] A
Da f stetig ist, gilt [mm] f(A_k) \to [/mm] f(A)
Zeige nun. f(A)=1
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:21 So 25.03.2012 | | Autor: | sissile |
Wie soll eine Matrix eine Folge sein, die konvergiert?
Ich versteh schon, dass man somit zeigt, dass sie ihren Rand enthält und daher abgeschlossen ist.
ABer wie soll man so eine Folge konstruieren? Ich versteh es nicht ganz.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:34 Mo 26.03.2012 | | Autor: | sissile |
push it ;))
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 26.03.2012 | | Autor: | sissile |
Es hat sich schon erledigt, großes danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mo 26.03.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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