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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:31 Sa 23.01.2010 | | Autor: | simplify |
| Aufgabe | Sei X ein [mm] \IR-VR \IR^{2} [/mm] und sei f. [mm] X^{2} \rightarrow \IR [/mm] definiert durch
f [mm] (\vektor{a1 \\ a2},\vektor{b1 \\ b2}) [/mm] := 2*a1b1 + 2*a2b2 - a1b2 - a2b1
a) Ist f Bilinearform?
b) Ist f Determinantenform? |
hallo,
also zu a) habe ich überprüft das die abbildung bei beiden argumenten linear ist.
[mm] \exists \vektor{a3 \\ a4} \in X^{2} [/mm] dann gilt:
[mm] f(\vektor{a1 \\ a2}+\vektor{a3 \\ a4},\vektor{b1 \\ b2}) [/mm] = [mm] f(\vektor{a1+a3 \\ a2+a4},\vektor{b1 \\ b2}) [/mm] =
2*(a1+a3)b1+2*(a2+a4)b2-(a1+a3)b2-(a2+a4)b1 =
2*a1b1+ 2*a3b1 + 2*a2b2+ 2*a4b2- a1b2- a3b2- a2b1- a4b1 =
[mm] f(\vektor{a1 \\ a2},\vektor{b1 \\ b2}) [/mm] + [mm] f(\vektor{a3 \\ a4},\vektor{b1 \\ b2})
[/mm]
analog die multiplikation eines skalars.
stimmt doch soweit,oder?
nun ist mir aber nicht ganz klar wie ich eine determinantenform nachweise!?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Sa 23.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Wie habt ihr Determinantenform definiert?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 23.01.2010 | | Autor: | simplify |
naja also 1. soll die n-Linearität (hier bilinearität) gezeigt werden und weiter muss gelten:
[mm] a)\Delta [/mm] (v1,...,vn)=0, falls v1,...,vn linear abhängig
b)es gibt vektoren v1,...,vn aus X mit [mm] \Delta [/mm] (v1,...,vn) [mm] \not= [/mm] 0
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Sa 23.01.2010 | | Autor: | simplify |
naja also 1. soll die n-Linearität (hier bilinearität) gezeigt werden und weiter muss gelten:
$ [mm] a)\Delta [/mm] $ (v1,...,vn)=0, falls v1,...,vn linear abhängig
b)es gibt vektoren v1,...,vn aus X mit $ [mm] \Delta [/mm] $ (v1,...,vn) $ [mm] \not= [/mm] $ 0
da ich doch aber nur 2 vektoren habe können doch gar nicht beide voraussetzungen gelten,oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:28 So 24.01.2010 | | Autor: | pelzig |
> naja also 1. soll die n-Linearität (hier bilinearität)
> gezeigt werden und weiter muss gelten:
> [mm]a)\Delta[/mm] (v1,...,vn)=0, falls v1,...,vn linear abhängig
> b)es gibt vektoren v1,...,vn aus X mit [mm]\Delta[/mm] (v1,...,vn)
> [mm]\not=[/mm] 0
Also die Eigenschaft a) ist offenbar äquivalent dazu, dass [mm] $\Delta(v_1,...,v_n)=0$ [/mm] wann immer [mm] $v_i=v_j$ [/mm] für zwei [mm] $i\ne [/mm] j$. Das heißt du musst eigentlich nur nachrechnen, ob deine Bilinearform $f(x,x)=0$ erfüllt für jedes [mm] $x\in [/mm] X$.
Übrigends ist der Raum der Determinantenformen nur 1-dimensioal, d.h. jede Determinantenform [mm] $\alpha$ [/mm] hat die Form [mm] $\alpha=\lambda\cdot\det$ [/mm] für ein [mm] $\lambda\in\IR$. [/mm] Daran sieht man auch sofort, dass deine BLF keine ist...
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 So 24.01.2010 | | Autor: | simplify |
hallo,
jetzt bin ich etwas verwirrt.
mir ist nicht ganz klar warum es keine bilinearform sein soll.
und wenn ich f(x,x)=0 nachrechne erhalte ich [mm] f(x,x)\not= [/mm] 0.
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> hallo,
> jetzt bin ich etwas verwirrt.
> mir ist nicht ganz klar warum es keine bilinearform sein
> soll.
Hallo,
nein, das hast Du falsch verstanden.
Es war gemeint, daß Du dann siehst, daß Deine Bilinearform keine Detrminantenform ist.
Gruß v. Angela
> und wenn ich f(x,x)=0 nachrechne erhalte ich [mm]f(x,x)\not=[/mm]
> 0.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 So 24.01.2010 | | Autor: | simplify |
achso...alles klar.
vielen dank.
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