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| Aufgabe | Sei [mm] \IK [/mm] ein Körper, A [mm] \in \IK^{m,m}, [/mm] B [mm] \in \IK^{m,n}, [/mm] D [mm] \in \IK^{n,n}.
[/mm]
Zeigen sie mit Hilfe der Leibniz-Formel, dass
[mm] det([\pmat{ A & B \\ 0 & D }]) [/mm] = det(A)*det(D). |
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht vorwärts.
Meine Frage ist erstmal, ob dass hier wirklich gilt:
[mm] det([\pmat{ A & B \\ 0 & D }]) [/mm] = A*D,
es müsste doch eigentlich stimmen, oder? Denn wenn eine Dreicksmatrix vorliegt, dann ist die Determinante das Produkt der Diagonalen [mm] x_{1,1}*x_{2,2}*x_{3,3}*...*x_{n,n}.
[/mm]
Dass heißt aber dann für die Aufgabe, dass
A*D = det(A)*det(D) gelten.
und wenn ich nicht völlig falsch liege, kann das doch gar nicht sein, oder?
das einzige für mich logische wäre, wenn
[mm] det([\pmat{ A & B \\ 0 & D }]) [/mm] = det(A*D) wäre.
aber das haut ja leider nicht hin:(.
Hoffe mir kann jemand helfen.
MFG
Robert
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Was soll man da antworten, wenn du im Nachsatz aufhebst, was du im Vorsatz noch behauptet hast, nur um das Ganze gleich wieder in Frage zu stellen?
Richtig ist die folgende Formel
[mm]\det{\begin{pmatrix} A & B \\ 0 & D \end{pmatrix}} = \det{A} \cdot \det{D}[/mm]
Hierbei sind [mm]A,D[/mm] quadratische Matrizen, die Matrizen [mm]B[/mm] und [mm]0[/mm] (Nullmatrix) füllen die Ecken so auf, daß die gesamte Matrix wieder quadratisch ist.
Unterscheide [mm]AD[/mm] (Matrizenprodukt, nicht immer definiert) von [mm]\det{A} \cdot \det{D}[/mm] (Produkt zweier Körperelemente.
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