Determinanten Mit Gauß 4x4 < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:29 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Aluhelm |
| Aufgabe | | Berechnen Sie det(A) mit dem Gauß-Verfahren! |
Hallo,
ich habe eine 4x4 Matrix. Davon soll ich die Determinante mit dem Gauß-Verfahren berechnen. Mit dem Satz von Laplace funktioniert das ohne Probleme. Allerdings komme ich mit dem Gauß nicht auf die richtige Lösung. Was mach ich falsch? Hier mal mein bisheriger Lösungsweg:
0 -1 0 4
-5 2 4 3
0 0 -2 0
1 -3 6 -4
[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & 4 \\ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4 }
[/mm]
1. und 2. Zeile vertauchen:
1 -3 6 -4
-5 2 4 3
0 0 -2 0
0 -1 0 4
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 4 }
[/mm]
2. Zeile + 5*1. Zeile
1 -3 6 -4
0 -13 34 -17
0 0 -2 0
0 -1 0 4
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\ 0 & -13 & 34 & -17 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 4 }
[/mm]
2. Zeile * -1/13
1 -3 6 -4
0 1 -34/13 17/13
0 0 -2 0
0 -1 0 4
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\ 0 & 1 & -34/13 & 17/13 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 4 }
[/mm]
4. Zeile + 2.Zeile
1 -3 6 -4
0 1 -34/13 17/13
0 0 -2 0
0 0 -34/13 69/13
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\ 0 & 1 & -34/13 & 17/13 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -34/13 & 69/13 }
[/mm]
Jetzt kann man die 3. Zeile noch mit -1/2 mal nehmen und dann in der letzten Zeile aus der -34/13 eine 0 machen. Dann komm ich aber auf ein falsches Ergebnis. Laut Lösung soll für die Determinante 138 herauskommen?? Was mach ich falsch?
Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Aluhelm,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Berechnen Sie det(A) mit dem Gauß-Verfahren!
> Hallo,
>
> ich habe eine 4x4 Matrix. Davon soll ich die Determinante
> mit dem Gauß-Verfahren berechnen. Mit dem Satz von Laplace
> funktioniert das ohne Probleme. Allerdings komme ich mit
> dem Gauß nicht auf die richtige Lösung. Was mach ich
> falsch? Hier mal mein bisheriger Lösungsweg:
>
> 0 -1 0 4
> -5 2 4 3
> 0 0 -2 0
> 1 -3 6 -4
>
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 & 4 \\ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 1 & -3 & 6 & -4 }[/mm]
>
> 1. und 2. Zeile vertauchen:
>
> 1 -3 6 -4
> -5 2 4 3
> 0 0 -2 0
> 0 -1 0 4
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\ -5 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 4 }[/mm]
>
Hier meinst Du wohl 1. und 4. Zeile vertauschen.
Das ändert das Vorzeichen der Determinante.
> 2. Zeile + 5*1. Zeile
>
> 1 -3 6 -4
> 0 -13 34 -17
> 0 0 -2 0
> 0 -1 0 4
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\ 0 & -13 & 34 & -17 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 4 }[/mm]
>
> 2. Zeile * -1/13
>
> 1 -3 6 -4
> 0 1 -34/13 17/13
> 0 0 -2 0
> 0 -1 0 4
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\ 0 & 1 & -34/13 & 17/13 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 4 }[/mm]
Die 2. Zeile bleibt unverändert.
>
> 4. Zeile + 2.Zeile
>
> 1 -3 6 -4
> 0 1 -34/13 17/13
> 0 0 -2 0
> 0 0 -34/13 69/13
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\ 0 & 1 & -34/13 & 17/13 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -34/13 & 69/13 }[/mm]
>
> Jetzt kann man die 3. Zeile noch mit -1/2 mal nehmen und
> dann in der letzten Zeile aus der -34/13 eine 0 machen.
> Dann komm ich aber auf ein falsches Ergebnis. Laut Lösung
> soll für die Determinante 138 herauskommen?? Was mach ich
> falsch?
>
> Danke.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Aluhelm |
Hallo,
danke für deine Antwort. Aber irgendwie werde ich daraus nicht schlau? Erklärt das, warum ich anstatt 138, 13/69 raus habe?
Dadurch, dass sich das Vorzeichen ändert, muss ich doch nur am Ende aus "-" "+" und umgekehrt machen?
Danke.
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Hallo Aluhelm,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort. Aber irgendwie werde ich daraus
> nicht schlau? Erklärt das, warum ich anstatt 138, 13/69
> raus habe?
>
Nein, das erklärt das nicht.
> Dadurch, dass sich das Vorzeichen ändert, muss ich doch
> nur am Ende aus "-" "+" und umgekehrt machen?
>
Richtig.
> Danke.
Gruss
MathePower
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Hi!
Soweit ich mich noch erinnern kann, muss man bei der Determinanten Berechnung mit Gauß darauf achten, dass man wirklich nur vielfache einer Zeile zu einer anderen addiert oder subtrahiert.
Multiplizierst du eine Zeile mit einer constanten, wie du es in einer Umformung getan hast, so musst du dein Ergebnis am Ende durch die Gleiche constante Teilen bzw. umgekehrt, da du ja am Ende die Elemente der Hauptdiagonalen miteinander multiplizierst.
>
> [mm]\pmat{ 0 & -1 & 0 & 4 \\
-5 & 2 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -2 & 0 \\
1 & -3 & 6 & -4 }[/mm]
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\
-5 & 2 & 4 & 3 \\
0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 4 }[/mm]
>
> 2. Zeile + 5*1. Zeile
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 6 & -4 \\
0 & -13 & 34 & -17 \\
0 & 0 & -2 & 0 \\
0 & -1 & 0 & 4 }[/mm]
Hier hast du doch nur noch ein Element in der ersten Spalte. Mach doch so weiter:
[mm]det=1 \cdot det (\pmat{ -13 & 34 & -17 \\
0 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & 4 })[/mm]
Verknüpfe also den Laplace Entwicklungssatz mit dem Gaußverfahren.
Ich hoffe das ist auch alles richtig soweit. Ist auch schon wieder ein wenig her bei mir.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Aluhelm |
Hallo,
danke für eure bisherigen Antworten. Mit dem Entwicklungssatz von LaPlace geht es ja ohne Probleme. Die Lösung ist 138. Ich soll es aber leider mit dem Gauß machen :-(...
Ich würde mich sehr freuen, wenn sich jemand mal genau angucken würde, warum ich da nicht auf 138, sonder auf ein anderes Ergebnis komme?
Vielen Dank.
Das ist echt ein super Forum hier.
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Hallo Aluhelm,
> Hallo,
>
> danke für eure bisherigen Antworten. Mit dem
> Entwicklungssatz von LaPlace geht es ja ohne Probleme. Die
> Lösung ist 138. Ich soll es aber leider mit dem Gauß
> machen :-(...
>
> Ich würde mich sehr freuen, wenn sich jemand mal genau
> angucken würde, warum ich da nicht auf 138, sonder auf ein
> anderes Ergebnis komme?
>
Weil Du die 2. und 3. Zeile jeweils durch ihre Diagonalelemente
geteilt hast, um sie auf 1 zu normieren. Das verfälscht die Determinante.
> Vielen Dank.
>
> Das ist echt ein super Forum hier.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Fr 10.02.2012 | | Autor: | Aluhelm |
Aber wie kann man denn sonst eine obere Dreiecksmatrix bekommen, wenn man das nicht macht?
Hilfe ahhhhh???^^
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Hallo Aluhelm,
> Aber wie kann man denn sonst eine obere Dreiecksmatrix
> bekommen, wenn man das nicht macht?
>
Die Zeile muss man nicht normieren.
Addiere z.B. das k.-fache der 2- Zeile zur 4. Zeile.
> Hilfe ahhhhh???^^
Gruss
MathePower
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