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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Determinante und Submersion
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Determinante und Submersion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:09 Fr 29.06.2012
Autor: Gedro

Aufgabe
Zeige, dass det: [mm] M_{n}(\IR)\to\IR [/mm] in allen [mm] A\in GL_{n}(\IR) [/mm] eine [mm] C^{\infty}-Submersion [/mm] ist.

Hallo,

zu der Aufgabe habe ich bis jetzt folgendes:

Die Ableitung der Determinanten an der Einheitsmatrix sieht folgendermaßen aus:
[mm] Ddet(E_{n}):M_{n}(\IR)\to\IR, Ddet(E_{n})(A)=spur(A) [/mm]

Dies ist offensichtlich eine [mm] C^{\infty}-Submersion. [/mm]
Nun hat mir der Prof. den Hinweis gegeben, dass ich diese Ableitung nutzen kann, um mit einem Trick zu zeigen, dass det an allen Stellen eine [mm] C^{\infty}-Submersion [/mm] ist.
Ich habe jetzt schon länger überlegt, bin aber auf nichts gekommen. Da ich noch keine Lineare Algebra 2 hatte, wollte ich fragen, ob ich das lösen kann ohne großartige Kenntnisse der Linearen Algebra?

Gruß,
Gedro

        
Bezug
Determinante und Submersion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:23 Fr 29.06.2012
Autor: SEcki


> Ich habe jetzt schon länger überlegt, bin aber auf nichts
> gekommen. Da ich noch keine Lineare Algebra 2 hatte, wollte
> ich fragen, ob ich das lösen kann ohne großartige
> Kenntnisse der Linearen Algebra?

Ja. [m]det(AB)=det(A)det(B)[/m] reicht aus zu wissen.

SEcki


Bezug
                
Bezug
Determinante und Submersion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:05 Sa 30.06.2012
Autor: Gedro

Achso, also könnte ich folgendes machen:

det(AB) = det(A)det(B) [mm] \Rightarrow [/mm] Ddet(A) = Ddet(AE) = D(det(A)det(E))

[mm] Ddet(A):\IR^{n^{2}}\to\IR [/mm]

Jetzt bin ich ein wenig verwirrt, wonach leite ich jetzt ab? Nach E oder nach beiden? Also:
1)D(det(A)det(E))= Ddet(E)*det(A) [mm] \Rightarrow [/mm] B [mm] \mapsto [/mm] spur(B)*det(A)
2)D(det(A)det(E))= Ddet(E)det(A)+Ddet(A)det(E) = Ddet(E)det(A)+Ddet(A) [mm] \Rightarrow B\mapsto [/mm] spur(B)*det(A)+Ddet(A)(B)

Bei 2) könnte ich ja immer noch nicht sagen, ob Ddet(A) surjektiv ist, da ich nicht weiss wie Ddet(A)(B) aussieht. Im schlimmsten Fall ist es das additiv Inverse von spur(B)*det(A).

Gruß,
Gedro


Bezug
                        
Bezug
Determinante und Submersion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:57 So 01.07.2012
Autor: SEcki


> Jetzt bin ich ein wenig verwirrt, wonach leite ich jetzt
> ab? Nach E oder nach beiden? Also:

Die Lineariserung in A.

Es gilt doch: [m]d(det(A))(B)=\lim_{t\to 0} \bruch{det(A-tB)}{t}[/m]. Jetzt forme das mal um.

> Bei 2) könnte ich ja immer noch nicht sagen, ob Ddet(A)
> surjektiv ist, da ich nicht weiss wie Ddet(A)(B) aussieht.
> Im schlimmsten Fall ist es das additiv Inverse von
> spur(B)*det(A).

Damit die Linearform surjektiv ist, reicht es hier ja auch zu zeigen, dass sie nicht identisch 0 ist (warum?), und damit reicht es ja, dass nur fuer passende B auszurechnen.

SEcki


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