Determinante einer Matrix < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Für [mm] \lambda \in \IR [/mm] sei
A = [mm] \pmat{\lambda & -2 \\ 1 & \lambda -3} \in \IR^{2 \times 2}
[/mm]
und
b = [mm] \vektor{1 \\ 1} \in \IR^{2 \times 1}
[/mm]
Für welche [mm] \lambda [/mm] hat das lineare Gleichungssystem Ax=b keine/genau eine/mehrere Lösung(en)? |
Hallo.
Kann mir jemand sagen, wie man hier allgemein herangeht. Sry wenn ich so frage, aber ich selbst hätte da keinen Ansatz. :(
Wäre echt sehr dankbar :) Gruß
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Hallo,
> Für [mm]\lambda \in \IR[/mm] sei
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> A = [mm]\pmat{\lambda & -2 \\ 1 & \lambda -3} \in \IR^{2 \times 2}[/mm]
>
> und
>
> b = [mm]\vektor{1 \\ 1} \in \IR^{2 \times 1}[/mm]
>
> Für welche [mm]\lambda[/mm] hat das lineare Gleichungssystem Ax=b
> keine/genau eine/mehrere Lösung(en)?
> Hallo.
>
> Kann mir jemand sagen, wie man hier allgemein herangeht.
> Sry wenn ich so frage, aber ich selbst hätte da keinen
> Ansatz. :(
Bringe die erweitere Matrix in ZSF. Dann ergeben sich die Lösungen in Abhängigkeit von [mm] \lambda. [/mm] Dabei musst du u.a. eine quadratische Gleichung lösen.
>
> Wäre echt sehr dankbar :) Gruß
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Sry aber was meinst du mit ZSF xD Muss man das nicht mithilfe der Determinanten lösen?
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> Sry aber was meinst du mit ZSF xD
Zeilenstufenform :D
> Muss man das nicht mithilfe der Determinanten lösen?
Wüsste nicht wie.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:26 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hmm..danke. Aber wie bringe ich das eigentlich in die Form? Kann mir da grad nichts vorstellen. :(
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> Hmm..danke. Aber wie bringe ich das eigentlich in die Form?
> Kann mir da grad nichts vorstellen. :(
[mm] $\pmat{\lambda & -2&1 \\1 & \lambda -3&1 }\leadsto \pmat{1 & \lambda -3&1\\\lambda & -2&1 } \leadsto \pmat{1 & \lambda -3&1\\0 & -2-\lambda(\lambda-3)&1-\lambda }$
[/mm]
Zeilen getauscht & Von der zweiten Zeile [mm] \lambda [/mm] mal die erste zeile abgezogen.
Und nun gibts ein Gleichungssystem:
[mm] x_1+(\lambda-3)x_2=1
[/mm]
[mm] (-\lambda^2+3\lambda-2)x_2=1-\lambda
[/mm]
Wie sehen die Lösungen des Gleichungssystems in Abhängigkeit von [mm] \lambda [/mm] aus?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Moin SolRakt,
gehen wir lieber den vereinfachten Weg mit der Determinante. Felix hat einen tollen Hinweis dazu gegeben.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok, danke erstmal vielmals. Bei Matrizen muss ich echt noch viel lernen xD
Hmm..bin mir aber jetzt nicht sicher, ob ich das richtig verstehe. Die Umformung ist mir aber klar ;)
Wenn der quadratische Ausdruck der 2.Zeile 0 eribt, so gäbe es doch unedlich viele Lösungen, da [mm] x_{2} [/mm] ja beliebig wäre, oder?
Und wenns nicht 0 wäre, dann gibts doch immer genau eine Lösung. Aber wo wäre dann der Fall für keine Lösung?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Sa 26.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ok, danke erstmal vielmals. Bei Matrizen muss ich echt noch
> viel lernen xD
>
> Hmm..bin mir aber jetzt nicht sicher, ob ich das richtig
> verstehe. Die Umformung ist mir aber klar ;)
>
> Wenn der quadratische Ausdruck der 2.Zeile 0 eribt, so
> gäbe es doch unedlich viele Lösungen, da [mm]x_{2}[/mm] ja
> beliebig wäre, oder?
Nur, wenn die komplette zweite Zeile 0 ist! Andernfalls gibt es gar keine Loesung.
> Und wenns nicht 0 wäre, dann gibts doch immer genau eine
> Lösung. Aber wo wäre dann der Fall für keine Lösung?
Teile die zweite Gleichung durch den Koeffizienten (der ja [mm] $\neq [/mm] 0$ ist), eliminiere damit [mm] $x_2$ [/mm] aus der ersten Gleichung, und schon steht's da.
Das brachst du aber fuer diese Aufgabe nicht.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Sa 26.02.2011 | | Autor: | felixf |
Moin
> > Muss man das nicht mithilfe der Determinanten lösen?
> Wüsste nicht wie.
Einen Teil der Aufgabe kann man sehr einfach mit Determinanten loesen: man kann naemlich Faelle angeben, in denen das LGS definitiv eine eindeutige Loesung hat.
Die anderen Faelle (es sind hoechstens zwei) kann man sich dann getrennt anschauen.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:46 Sa 26.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
> Moin
>
> > > Muss man das nicht mithilfe der Determinanten lösen?
> > Wüsste nicht wie.
>
> Einen Teil der Aufgabe kann man sehr einfach mit
> Determinanten loesen: man kann naemlich Faelle angeben, in
> denen das LGS definitiv eine eindeutige Loesung hat.
Oh, geschickt. Nun sehe ich es auch 
1. [mm] \det\neq0 \Rightarrow [/mm] voller Rang/ Bild hat Dim [mm] 2\Rightarrow \ldots.
[/mm]
2. [mm] \det=0 \ldots
[/mm]
>
> Die anderen Faelle (es sind hoechstens zwei) kann man sich
> dann getrennt anschauen.
>
> LG Felix
>
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Nicht bös gemeint, aber bin irgendwie durcheinander xD
Kann mir jemand den Ansatz mit der Determinante erklären?
Danke sehr.
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> Nicht bös gemeint, aber bin irgendwie durcheinander xD
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> Kann mir jemand den Ansatz mit der Determinante erklären?
>
> Danke sehr.
Ist die Determinante [mm] \neq [/mm] 0, so ist das Bild der Matrix der [mm] \IR^2. [/mm] Das heißt aber, dass die durch die Matrix repräsentierte lineare Abbildung ein Isomorphismus ist. Also ist die Abbildung bijektiv, i. e. es gibt genau ein Urbild von [mm] \vektor{1\\1}, [/mm] i. e. es gibt genau eine Lösung des linearen Gleichungssytems.
Wann ist die Det Null?
Die beiden (anderen) Fälle, wo die Det Null ist, sind relativ einfach.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:25 Sa 26.02.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ok, ich bilde erstmal die Determinante:
det(A) = [mm] \lambda(\lambda [/mm] -3) - (-2)*1
Also:
det(A) = [mm] \lambda^{2}-3\lambda+2
[/mm]
Und wenn das [mm] \not= [/mm] 0 ist, gibt es eine eindeutige Lösung. Versteh aber leider nicht, wie du auf den Isomorphismus kommst. Das danach (also bijektiv, Urbild, ...) versteh ich aber wiederum. xD
So, wenns gleich 0 ist, gibts also 2 Fälle. Hmm. xD
Also, wenn man oben 0 für det(A) einsetzt, kann man eine quadratische Gleichung lösen. Hier kommt dann raus:
[mm] \lamdba_{1}=2 [/mm] ; [mm] \lambda_{2}=1
[/mm]
Aber woran erkenne ich jetzt, ob es unendlich viele oder gar keine Lösung gibt.
Wenn man 2 in die Matrix einsetzt, steht ja da:
[mm] \pmat{2 & -2 & |1 \\ 1 & -1 & |1}
[/mm]
Hier sollte es keine Lösung geben (sieht einfach so aus), aber wie zeige ich das?
Und bei 1:
[mm] \pmat{1 & -2 & |1 \\ 1 & -2 & |1}
[/mm]
Hier sollte es dann unendlich viele geben, weil ja genau dasselbe in beiden Zeilen steht. Muss man das aber noch extra zeigen?
Kann sein, dass meine Ansätze auch total daneben sind xD Danke.
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> Ok, ich bilde erstmal die Determinante:
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> det(A) = [mm]\lambda(\lambda[/mm] -3) - (-2)*1
>
> Also:
>
> det(A) = [mm]\lambda^{2}-3\lambda+2[/mm]
>
> Und wenn das [mm]\not=[/mm] 0 ist, gibt es eine eindeutige Lösung.
Hallo,
genau.
Damit weißt Du, daß das System für [mm] \lambda\in \IR\\{1,2\} [/mm] eindeutig lösbar ist.
> Versteh aber leider nicht, wie du auf den Isomorphismus
> kommst.
Er hat fleißig aufgepaßt in der Vorlesung und weiß, daß Matrizen, deren det [mm] \not=0 [/mm] ist, invertierbar sind, und daß invertierbare Matrizen invertierbare lineare Abbildungen darstellen.
> Das danach (also bijektiv, Urbild, ...) versteh ich
> aber wiederum. xD
>
> So, wenns gleich 0 ist, gibts also 2 Fälle. Hmm. xD
>
> Also, wenn man oben 0 für det(A) einsetzt, kann man eine
> quadratische Gleichung lösen. Hier kommt dann raus:
>
> [mm]\lamdba_{1}=2[/mm] ; [mm]\lambda_{2}=1[/mm]
>
> Aber woran erkenne ich jetzt, ob es unendlich viele oder
> gar keine Lösung gibt.
>
> Wenn man 2 in die Matrix einsetzt, steht ja da:
>
> [mm]\pmat{2 & -2 & |1 \\
1 & -1 & |1}[/mm]
>
> Hier sollte es keine Lösung geben (sieht einfach so aus),
> aber wie zeige ich das?
Bring es in ZSF:
[mm] $\pmat{2 & -2 & |1 \\ 0 & 0 & |1}$
[/mm]
Wenn Du die zweite Zeile in eine Gleichung "übersetzt", siehst Du, daß es keine Lösung gibt.
> Und bei 1:
>
> [mm]\pmat{1 & -2 & |1 \\
1 & -2 & |1}[/mm]
ZSF:
[mm] $\pmat{1 & -2 & |1 \\ 0 & 0 & |0}$
[/mm]
>
> Hier sollte es dann unendlich viele geben, weil ja genau
> dasselbe in beiden Zeilen steht.
(Auch wenn es in der vorliegenden Aufgabenstellung nicht gefordert ist, solltest Du in der Lage sein, die Lösungsmenge anzugeben.)
> Muss man das aber noch
> extra zeigen?
Zeigen nicht, aber den Satz zitieren, auf den Du Dich berufst.
Ich glaub', Du brauchst die Sache mal ein bißchen hausfrauenmäßig aufbereitet, als Kochrezept:
Wir betrachten das Gleichungssystem Ax=b,
wobei A nicht unbedingt quadratisch sein muß.
1.
Das Gleichungssystem ist nicht lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A kleiner ist als der der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b).
2.
Das Gleichungssystem ist lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix A gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A|b) ist.
2.1.
Das GS ist eindeutig lösbar, wenn der Rang von A gleich der Anzahl der Spalten ist.
2.2. Das GS hat mehrere Lösungen, wenn der Rang von A kleiner ist als die Anzahl der Spalten.
Du siehst also, daß Du die Entscheidung über die Lösbarkeit v. LGSen anhand von Ranguntersuchungen treffen kannst.
Im Falle einer quadratischen Matrix A sagt Dir auch die Determinante, ob A vollen Rang hat, das System also eindeutig lösbar ist.
Gruß v. Angela
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