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Determinante einer 6x6-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:08 Mo 21.05.2012
Autor: Myth

Aufgabe
Berechnen Sie die Determinante der Matrix

[mm] A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} [/mm]

Hallo zusammen!

Also ich hab die Determinante einer 4x4-Matrix bereits nach Laplace (spalten-)entwickelt. Jetzt soll ich die Determinante einer 6x6-Matrix berechnen, komme aber mit dieser Zeilen/Spalten-Entwicklung nicht zum Ziel. Geht das irgendwie anders, dass man die 6x6-Matrix auf mehrere 3x3-Matrizen reduziert?

Gruß Myth



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Determinante einer 6x6-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:20 Mo 21.05.2012
Autor: barsch

Hallo Myth!

[willkommenmr]


> Berechnen Sie die Determinante der Matrix
>  
> [mm]A=\begin{pmatrix} -1 & 2 & -3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Hallo zusammen!
>  
> Also ich hab die Determinante einer 4x4-Matrix bereits nach
> Laplace (spalten-)entwickelt. Jetzt soll ich die
> Determinante einer 6x6-Matrix berechnen, komme aber mit
> dieser Zeilen/Spalten-Entwicklung nicht zum Ziel. Geht das
> irgendwie anders, dass man die 6x6-Matrix auf mehrere
> 3x3-Matrizen reduziert?

Dadurch, dass die Matrix sehr viele 0-Einträge enthält, erleichtert das die "Entwicklung nach LaPlace" bereits stark.

Entwickle zuerst nach der 3. Spalte - die Spalte hat die meisten Nulleinträge. So hast du im 2. Schritt "nur" noch eine [mm]5\times{5}[/mm]-Matrix.

Im nächsten Schritt entwickelst du dann wieder nach der Zeile/Spalte mit den meisten 0-Einträgen. Dann sind nur noch [mm] $4\times{4}$-Matrizen [/mm] im Spiel.

usw.

Diese Matrizen (groß & mit vielen 0-Einträgen) sind eigentlich auch typisch zum Üben von LaPlace.


> Gruß Myth
>  
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß
barsch


Bezug
                
Bezug
Determinante einer 6x6-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:35 Mo 21.05.2012
Autor: Myth

Danke für die schnelle Antwort!

Also nach der ersten Entwicklung bekomme ich dann:

det(A) = [mm] -3*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} [/mm]

Dann würde ich z.B. nach der 4.Spalte weiterentwickeln, dann bekäme ich eine 4x4-Matrix:

det(A) = [mm] -1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] 1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] 2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix} [/mm]

Wie gehts dann weiter? Spielt der Faktor -3 nach der zweiten Entwicklung noch eine Rolle oder muss ich jetzt einfach jede der drei 4x4-Matrizen wieder jeweils entwickeln und hätte dann 6 3x3-Matrizen?

Gruß Myth

Bezug
                        
Bezug
Determinante einer 6x6-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:51 Mo 21.05.2012
Autor: barsch


> Danke für die schnelle Antwort!
>  
> Also nach der ersten Entwicklung bekomme ich dann:
>  
> det(A) = [mm]-3*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}[/mm]

Ja!

> Dann würde ich z.B. nach der 4.Spalte weiterentwickeln,

warum? Die  1. Spalte hat z.B. mehr 0-Einträge.

> dann bekäme ich eine 4x4-Matrix:
>  
> det(A) = -3*([mm]-1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix}[/mm]+[mm]1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 5 & -3 \end{pmatrix}[/mm]-[mm]2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}[/mm])


du musst den Faktor -3 schon mitnehmen!

>  
> Wie gehts dann weiter? Spielt der Faktor -3 nach der
> zweiten Entwicklung noch eine Rolle oder muss ich jetzt
> einfach jede der drei 4x4-Matrizen wieder jeweils
> entwickeln und hätte dann 6 3x3-Matrizen?

Du musst für jede der 3 Matrizen wieder nach LaPlace entwickeln. Wie viele Matrizen du dabei erhälst, hängt davon ab, nach welcher Zeile/Spalte du jeweils entwickelst.

Wenn du bei [mm]3\times{3}[/mm]- oder [mm]2\times{2}[/mm]-Matrizen angelangt bist, kannst du auch auf andere Methoden zurückgreifen. Z.B. Sarrus-Regel bei [mm]3\times{3}[/mm]-Matrizen.

>  
> Gruß Myth

Gruß
barsch


Bezug
                                
Bezug
Determinante einer 6x6-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:06 Di 22.05.2012
Autor: Myth

  
> > Dann würde ich z.B. nach der 4.Spalte weiterentwickeln,
>
> warum? Die  1. Spalte hat z.B. mehr 0-Einträge.
>

ohja, klar, hab ich vercheckt...

also ich hab dann:

det(A) = [mm] -3*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} [/mm]

Entwicklung nach der ersten Spalte:

det(A) = [mm] -3*[2*det\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} [/mm] - [mm] 4*det\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}] [/mm]

dann entwickel ich wieder jeweils nach der ersten Spalte und erhalte:

det(A) = [mm] -3*[2*[-2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}] [/mm] - [mm] 4*[1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3\end{pmatrix}]] [/mm]


Stimmt das so?

Bezug
                                        
Bezug
Determinante einer 6x6-Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:15 Di 22.05.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Myth,


>  
> > > Dann würde ich z.B. nach der 4.Spalte weiterentwickeln,
> >
> > warum? Die  1. Spalte hat z.B. mehr 0-Einträge.
> >
>
> ohja, klar, hab ich vercheckt...
>  
> also ich hab dann:
>  
> det(A) = [mm]-3*\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}[/mm]
>  
> Entwicklung nach der ersten Spalte:
>  
> det(A) = [mm]-3*[2*det\begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 & 24 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}[/mm]
> - [mm]4*det\begin{pmatrix} 1 & 0& 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}][/mm]
>  
> dann entwickel ich wieder jeweils nach der ersten Spalte
> und erhalte:
>  
> det(A) = [mm]-3*[2*[-2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}][/mm]
> - [mm]4*[1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3\end{pmatrix}]][/mm]
>  
>
> Stimmt das so?

Ja, bis hierhin ist alles bestens!

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Determinante einer 6x6-Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:29 Di 22.05.2012
Autor: Myth


> > dann entwickel ich wieder jeweils nach der ersten Spalte
> > und erhalte:
>  >  
> > det(A) = [mm]-3*[2*[-2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}][/mm]
> > - [mm]4*[1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3\end{pmatrix}]][/mm]

> Ja, bis hierhin ist alles bestens!
>  
> Gruß
>  
> schachuzipus
>  

Gut, dann ist die Determinante der 3x3-Matrix:

[mm]det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} = 2*1*(-3) + 1*0*5 + (-1)*2*2 - 5*1*(-1) - 2*0*2 - (-3)*2*1 = 1[/mm]

eingesetzt in det(A) liefert dann:

[mm]det(A) = -3*[2*(-2)-4] = 24[/mm]

Ist das auch richtig?

Gruß Myth


Bezug
                                                        
Bezug
Determinante einer 6x6-Matrix: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:45 Di 22.05.2012
Autor: barsch


> > > dann entwickel ich wieder jeweils nach der ersten Spalte
> > > und erhalte:
>  >  >  
> > > det(A) = [mm]-3*[2*[-2*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix}][/mm]
> > > - [mm]4*[1*det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3\end{pmatrix}]][/mm]
>  
> > Ja, bis hierhin ist alles bestens!
>  >  
> > Gruß
>  >  
> > schachuzipus
>  >  
>
> Gut, dann ist die Determinante der 3x3-Matrix:
>  
> [mm]det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 5 & 2 & -3 \end{pmatrix} = 2*1*(-3) + 1*0*5 + (-1)*2*2 - 5*1*(-1) - 2*0*2 - (-3)*2*1 = 1[/mm]

[ok]

>  
> eingesetzt in det(A) liefert dann:
>  
> [mm]det(A) = -3*[2*(-2)-4] = 24[/mm]

[ok]

> Ist das auch richtig?

[ok]

> Gruß Myth

Gruß
barsch


Bezug
                                                                
Bezug
Determinante einer 6x6-Matrix: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:47 Di 22.05.2012
Autor: Myth

Dann vielen Dank an barsch und schachuzipus für die schnelle Hilfe!!!!

Gruß Myth

Bezug
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