Determinante einer 4x4 Matrix < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechne die Determinante der folgenden Matrix:
A = [mm] \pmat{ 1001 & 1002 & 1003 & 1004 \\ 1002 & 1003 & 1001 & 1002 \\ 1001 & 1001 & 1001 & 999 \\ 1001 & 1000 & 998 & 999 } [/mm] |
Ich habe die Determinante nach der Regel von Sarrus berrechnet:
det(A) = ((1001 * 1003 * 1001 * 999) + (1002 * 1001 * 998 *1004) + (1002 * 1001 * 999 * 1001) + (1001 * 1000 * 1003 * 1002) - (1001 * 1001 * 1001 * 1004) - (1001 * 1003 * 1003 * 999) - (1000 * 1001 * 1002 * 1001) - (1002 * 1002 * 998 * 999) = -8026024
Das Ergebnis habe ich mit zwei Online-Rechner für Determinanten überprüft und dort kam jedoch -18016 heraus.
Was mache ich falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:16 Mo 19.04.2010 | | Autor: | Ersty |
Hi, du kannst die Regel für Sarrus nur für 3x3 Matrizen anwenden.
Für 4x4 Matrizen musst du den Entwicklungssatz von Laplace anwenden, das ist dann konkretes Rechnen mit "Streichen".
Du Entwickelst die 4x4 Matrix, indem du die erste Zeile und erste Spalte streichst. Wie sieht die Rechnung dazu aus:
Als erstes schreibst du den a_11 Eintrag auf, bei dir ist es 1001, streichst danach die erste Zeile und die erste Spalte und multiplizierst deinen a_11 Wert mit der Determinante von der übriggebliebenen 3x3 Matrix (kleiner Tipp, der erste Eintrag (a_11') in dieser vorrübergehenden neuen Matrix ist 1003). Die Determinante der 3x3 Matrix kannst du mit Sarrus ausrechnen, das ist kein Problem.
Kannst du dir diese 3x3Matrix vorstellen?
Weißt dus wies danach weitergeht?
Dein erster Teil deiner Formel sieht dann so aus (ich schreib dir nicht alles hin, versuch den Rest selbst rauszufinden) :
1001 * det (vom Streichen übrig gebliebene 3x3 Matrix) +/- a_12 * det (......) +/-............
Hoffe es hilft dir weiter!
MFG Ersty
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:35 So 25.04.2010 | | Autor: | Soinapret |
Hallo Ersty,
danke dir für deine Hilfe.
Es hat sich herrausgestellt, das ich das Übungsblatt mit meinem damaligen Wissen noch gar nicht lösen konnte.
Trotzdem hätte ich wissen müssen, das ich den Sarrus nur auf 3x3 anwenden darf. Deine Tipps haben mir trotzdem geholfen ;)
Nun hatten wir inzwischen gelernt, das ich die Matrix auf eine Dreiecksform bringe, um dann das Produkt der Diagonalen von [mm] a_{11} [/mm] bis [mm] a_{nn} [/mm] zu bilden, was gleich der Determinante ist. Dies habe ich hier auch verwendet.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Mo 26.04.2010 | | Autor: | Ersty |
Wunderbar, es gibt nämlich immer 2 Möglichkeiten, deine eben beschriebene Möglichkeit ist eine davon.
Die Entwicklung nach Zeilen/Spalten, sprich meine Vorgehensweise, bietet sich meistens dann an, wenn du in einigen Einträgen der Matrix 0-en hast.
Alternativ, kannst du auch beides kombinieren:
Forme die Matrix solange um, bis du in einigen Einträgen der Matrix 0-en hast und dann entwickelst du die Matrix nach Laplace.
Aber das nur für den interessierten Mathematiker, freut mich, dass dus hinbekommen hast!
MFG Ersty
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