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| Aufgabe | [mm] A=\pmat{ b+8c & 2c-2b & 4b-4c \\ 4c-4a & c+8a & 2a-2c \\ 2b-2a & 4a-4b & a+8b }
[/mm]
Bestimme die Determinante!
Für welche [mm] a,b,c\in \IR [/mm] ist A invertierbar? |
Hallo...
ich verzweifle hier gerade!
ich habe versucht die Determinante mit Sarrus zu berechnen, aber ich hab mich sicher schon tausend mal vererchnet wegen dem ganzen ausmultiplizieren. Kann mir vielleicht jemand ein Kontrollergebnis geben? Kann man das vielleicht einfacher machen? Oder gibt es ein Programm wo ich die Determinante überprüfen kann?
Für welche a,b,c ist A invertierbar?
Könnt ihr mir Tipps geben wie ich das bestimmen kann?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Fr 27.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Für die Determinante D einer 3[mm]\times[/mm]3-Matrix A gilt, die du bei ![[]](/images/popup.gif) diesem Skript der Uni Graz nachlesen kannst:
[mm]det(A)=det\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a13\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}=a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{31}\cdot a_{22}\cdot a_{13}-a_{32}\cdot a_{23}\cdot a_{11}-a_{33}\cdot a_{21}\cdot a_{12}[/mm]
Also in deinem Fall:
[mm] A=\pmat{ b+8c & 2c-2b & 4b-4c \\
4c-4a & c+8a & 2a-2c \\
2b-2a & 4a-4b & a+8b } [/mm]
Also
[mm]det(A)=(b+8c)\cdot(c+8a)\cdot(a+8b)+(2c-2b)\cdot(2a-2c)\cdot(2b-2a)+(4b-4c)\cdot(4c-4a)\cdot((4a-4b)-(2b-2a)\cdot(c+8a)\cdot(4b-4c)-(4a-4b)\cdot(2a-2c)\cdot (b+8c)-(a+8b)\cdot(4c-4a)\cdot(2c-2b)[/mm]
Das ausmultiplizieren mach mal selber.
Marius
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Ja, genau das habe ich ja auch gemacht nach Sarrus. und beim ausmultiplizieren und dann zusammenrechnen kriege ich jedesmal was anderes raus...das ist irgendwann echt deprimierend.
[mm] det(A)=297abc+64ab^2+8ac^2+ab^2
[/mm]
daher meinte ich ja, ob es eine einfachere Möglichkeit gibt das zu berechnen oder ob man das mit irgendeinem online Rechner prüfen kann.
PS: Danke für den Link vom Skript! Das sieht ganz gut aus :)
MfG
Mathegirl
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:16 Fr 27.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Eventuell kannst du diese Gleichung mit Derive vereinfachen lassen, ich habe an dem Rechner, an dem ich gerade sitze, dieses nicht installiert.
Marius
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Hallo
Ich habs mal in mein Taschenrechner eingegeben und dort kam heraus:
det(A)=729abc
Du könntest deine Rechnung posten. Dann sieht man bestimmt die Fehler.
Zur 2. Aufgabe.Weißt du, was die Determinante mit Invertierbarkeit zu tun hat? Wenn die Determinante gleich 0 ist, dann ist die Matrix nicht invertierbar, also musst du a,b,c so wählen, das die Determinante ungleich 0 ist.
Gruß
TheBozz-mismo
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 So 29.01.2012 | | Autor: | heinze |
Mit viel Rechnerei per Hand bin ich auch auf det(A)=729abc gekommen.
Wenn ich a,b,c nun so wählen soll, dass A invertierbar ist, so gilt das doch für alle [mm] a,b,c\not= [/mm] 0.
Gibt es weitere Fälle ?
LG heinze
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 So 29.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Mit viel Rechnerei per Hand bin ich auch auf det(A)=729abc
> gekommen.
>
> Wenn ich a,b,c nun so wählen soll, dass A invertierbar
> ist, so gilt das doch für alle [mm]a,b,c\not=[/mm] 0.
>
> Gibt es weitere Fälle ?
Nein. A ist invertierbar [mm] \gdw [/mm] a [mm] \ne [/mm] 0 und b [mm] \ne [/mm] 0 und c [mm] \ne [/mm] 0
FRED
>
>
> LG heinze
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> [mm]A=\pmat{ b+8c & 2c-2b & 4b-4c \\
4c-4a & c+8a & 2a-2c \\
2b-2a & 4a-4b & a+8b }[/mm]
>
> Bestimme die Determinante!
> ich habe versucht die Determinante mit Sarrus zu berechnen,
> aber ich hab mich sicher schon tausend mal vererchnet wegen
> dem ganzen ausmultiplizieren.
Hallo,
das kann ich mir lebhaft vorstellen. Es ist nicht schwer, aber grauenhaft.
> Kann mir vielleicht jemand
> ein Kontrollergebnis geben?
Wir rechnen lieber nach, was Du vorrechnest.
> Kann man das vielleicht
> einfacher machen?
Ich glaube: ja.
Es kann ja nicht Ziel der Übung sein, daß Du Dir einen Wolf rechnest...
Ich denke, sich hier an die Regeln fürs Rechnen mit Determinanten zu erinnern, kann von Vorteil sein: z.B. darf man Zeilen zu anderen Zeilen addieren, Faktoren aus Zeilen ziehen, Spalten analog.
Da hilft, schau:
[mm]det\pmat{ b+8c & 2c-2b & 4b-4c \\
4c-4a & c+8a & 2a-2c \\
2b-2a & 4a-4b & a+8b }[/mm]
2.Spalte+2*1.Spalte
=[mm]det\pmat{ b+8c & 18c & 4b-4c \\
4c-4a & 9c & 2a-2c \\
2b-2a & 0 & a+8b }[/mm]
=9c[mm]det\pmat{ b+8c & 2 & 4b-4c \\
4c-4a & 1 & 2a-2c \\
2b-2a & 0 & a+8b }[/mm]
Es gibt jetzt mehrere Möglichkeiten, geschickt weiterzumachen.
Du könntest z.B. noch zur 1. Spalte das Zweifache der dritten addieren,
von der ersten das Doppelte der Zweiten subtrahieren.
Ich bin mir sicher, daß die Det. dann schon sehr einfach sein wird.
Ist mit Sarrus hier ein bißchen so wie mit "was an nicht im Kopf hat, muß man in den Beinen haben."
LG Angela
> Oder gibt es ein Programm wo ich die
> Determinante überprüfen kann?
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> Für welche a,b,c ist A invertierbar?
> Könnt ihr mir Tipps geben wie ich das bestimmen kann?
>
>
> MfG
> Mathegirl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Sa 28.01.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Es sei $ [mm] P=\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 } [/mm] $.
Berechnen Sie $ [mm] P^{-1}AP [/mm] $. |
Hier ist ja nicht die Determinante gefordert, sondern die Ergebnismatrix.
Mir erscheint diese Aufgabenstellung noch aufwändiger als die Determinante von A mit Sarrus zu berechnen. Macht das überhaupt Sinn? Oder könnte man hier auch vereinfachen?
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> Es sei [mm]P=\pmat{ 0 & 1 & 2 \\
2 & 0 & 1 \\
1 & 2 & 0 } [/mm].
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> Berechnen Sie [mm]P^{-1}AP [/mm].
> Hier ist ja nicht die
> Determinante gefordert, sondern die Ergebnismatrix.
> Mir erscheint diese Aufgabenstellung noch aufwändiger als
> die Determinante von A mit Sarrus zu berechnen.
Hallo,
das finde ich nicht.
Der Aufwand kommt mir wirklich vertretbar vor.
Hast Du's schon gemacht?
Ich wäre mal gespannt, was rauskommt.
Evtl. ist es klug, erstmal [mm] $P^{-1}AP [/mm] $ zu berechnen und dann die Determinante. Ich bin mir sogar ziemlich sicher, daß die Aufgabe so gestellt ist, daß das Berechnen der Determinante danach recht einfach ist.
Lassen wir uns mal überraschen.
LG Angela
> Macht das
> überhaupt Sinn? Oder könnte man hier auch vereinfachen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Sa 28.01.2012 | | Autor: | heinze |
Kann es sein dass die Einheitsmatrix heraus kommt? ;)
LG heinze
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> Kann es sein dass die Einheitsmatrix heraus kommt? ;)
Hallo,
kann sein, kann auch nicht sein.
man wird's wissen, wenn man fgerechnet hat.
Ich hab's nicht getan, weiß also nicht, was rauskommt.
Ihr sollt ja rechnen! (Bei nachvollziehbar gepostetem Rechenweg würde ich evtl. nachrechnen.)
Ich glaub übrigens nicht, daß die Einheitsmatrix rauskommt. Wohin sollten denn die a,b,c verschwinden?
LG Angela
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> LG heinze
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