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[mm] \vmat{3&1&-1&0&4\\-2&2&0&1&5\\2&0&-1&2&13\\1&3&3&0&-2\\2&0&3&1&2}
[/mm]
diese Determinante soll so einfach wie möglich berechnet werden unter der zuhilfenahme der Eigenschaften von Determinanten.
Habe schon zig Determinanten berechnet, aber hier sehe ich einfach keinen Ansatz. Wäre dankbar, wenn mir da jemand helfen könnte.
Mit dem Taschenrechner habe ich schon mal gerechnet und da kommt auf jeden Fall Null raus. Aber ich möchte eben keine ewig lange Rechnung machen,wenn es dann in zwei Schritten oder so geht.
Mein Ansatz war erstmal folgender:
Hatte mir überlegt aus der 4. Zeile [mm] \bruch{1}{3} [/mm] rauszunehmen. Dann hatte ich in zwei parallelen Reihen die gleichen Zahlen, aber eben nicht in der gleichen Reihenfolge.
Ist die Reihenfolge egal oder müssen beide wirklich identisch sein?
für die 2. Spalte wäre dann die Reihenfolge: 1,2,0,1,0
und für die 4. Spalte: 0,1,2,0,1
reicht das zu oder nicht? Wenn nein wie kann ich das dann lösen?
sunshinenight
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Sa 22.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Bringe die Matrix mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform. Die Determinante der entstehenden Matrix kannst du leicht berechnen (Produkt der Diagonalelemente). Achte aber darauf, dass gewisse Manipulationen (Vertauschen von Zeilen) die Determinante verändern (z.B. deren Vorzeichen), das musst du gegebenenfalls berücksichtigen.
Liebe Grüße
Stefan
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ich kann dir grad gar nicht recht folgen! Was genau meinst du mit Zeilenstufenform, kann mir darunter grad nichts vorstellen!
Ich weiss auch, dass man die parallele Reihen vertauschen kann und das sich dann das Vorzeichen ändert. Kannst du mir das mal bitte an einem Beispiel zeigen? Ändert sich das Vorzeichen bei jeder Zahl der Reihe und das bei beiden oder nur bei einer? Wir haben uns nur die Eigenschaft aufgeschrieben und ein Beispiel wäre mir da schon von nutzen!
Bin jetzt auch nicht viel weiter als vorher, aber danke für deine Antwort!
sunshinenight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 Sa 22.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich kann dir grad gar nicht recht folgen! Was genau meinst
> du mit Zeilenstufenform, kann mir darunter grad nichts
> vorstellen!
Gauss-Verfahren um die Matrix auf Zeilenstufenfrm zu bringen - kennst du schon, oder?
> Ich weiss auch, dass man die parallele Reihen vertauschen
> kann und das sich dann das Vorzeichen ändert. Kannst du mir
> das mal bitte an einem Beispiel zeigen?
Du drehst in deiner Matrix zwei Zeilen um - dann kommt vor die Determinante ein Minus. Bei Multiplikation von Reihen mit Zahlen ungleich Null kommt vor die Dtereminante das Inverse.
Ändert sich das
> Vorzeichen bei jeder Zahl der Reihe und das bei beiden oder
> nur bei einer?
Vor der Determinante - schau dir doch dein Skript nochmal an, und dann rechne mit der Dterimante. Du hast doch mit anderen Aufgaben schon Beispiele gehabt?!?
SEcki
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Gauss-Verfahren hatten wir noch nicht, damit wurden wir schon zig mal auf später vertröstet!
Wie gesagt, haben wir uns als eine Eigenschaft nur aufgeschrieben, dass wenn man zwei parallele Reihen vertauscht, sich nur das Vorzeichen ändert. Das ist für mich ein wenig ungenau formuliert. Aber du sagtest ja, dass dies vor dioe Determinante zu schreiben ist!
In der gleichen Aufgabe hatte ich vier weitere Determinanten. Die ersten drei habe ich mit Erzeugen von Nullen und Entwicklungssatz gelöst. Bei der vierten habe ich aus einer Reihe einen Faktor ausgeklammert und so waren dann zwei Reihen gleich und damit der Wert der Determinante Null.
Eben bei dieser hier fällt mir nichts ein und mit Erzeugen von Nullen und Entwicklungssatz bin ich immer auf einen Wert ungleich Null gekommen und das auf zwei verschiedene Werte, ansonsten hätte ich nicht um Hilfe gebeten!
aber danke für deine Antwort
sunshinenight
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Sa 22.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
tja, wenn dir Gauß-Algo nichts sagt, dann wird dir folgende Lösung wohl als Zauberei vorkommen :
seien [mm] v_1 [/mm] deine erste SPALTE und [mm] v_2 [/mm] die zweite usw., dann gilt:
[mm] $\bruch{11}{17}*v_1+\bruch{10}{17}*v_2-\bruch{25}{17}*v_3+\bruch{87}{17}*v_4-v_5=\vektor{0\\0\\0\\0\\0}$
[/mm]
oder wenn man die ZEILEN [mm] z_1 [/mm] bis [mm] z_5 [/mm] betrachtet :
[mm] $z_1+z_2-z_3-z_4+z_5=\pmat{0&0&0&0&0}$
[/mm]
viele grüße
DaMenge
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Ehrlich gesagt, kann ich mit deiner Antwort rein gar nichts anfangen und deswegen frage ich mich, warum du dann deine Antwort reinschreibst, obwohl du selber schon sagst, dass ich damit wohl nichts anfangen kann...
Will dich da echt nicht angreifen, aber helfen tut mir das ganze kein Stück. Ich hatte noch keinen Gauß-Algorithmus und deswegen werde ich jetzt auch darauf verzichten und hoffe mir kann jemand einen anderen Weg vorschlagen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:42 So 23.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Ehrlich gesagt, kann ich mit deiner Antwort rein gar nichts
> anfangen
Es steht da einfach: die Spalten/Zeilen sind linear abhängig - also die Dterminante 0.
> und deswegen frage ich mich, warum du dann deine
> Antwort reinschreibst, obwohl du selber schon sagst, dass
> ich damit wohl nichts anfangen kann...
Unfug! Das hat er nicht geschrieben - und du solltest mal die Aussagen in der Antwort überprüfen. Die natürliche Frage wäre dann: "und wie kommt man darauf?" - und da ist eben die Antwort: "Gauss-Verfahren."
> Will dich da echt nicht angreifen, aber helfen tut mir das
> ganze kein Stück. Ich hatte noch keinen Gauß-Algorithmus
Dann lerne ihn! Such mal in der Mathebank/Wikipedia/Google - das gibt es bestimmt sehr viele Treffer.
> und deswegen werde ich jetzt auch darauf verzichten und
> hoffe mir kann jemand einen anderen Weg vorschlagen
Wenn du andere Wege kennst, die Spalten auf lineare Abhängigkeit zu prüfen - dann nutze sie!
SEcki
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Mir gehts einfach da drum eine Antwort zu bekommen mit der ich auch etwas anfangen kann. Ich hatte extra erwähnt, dass wir nur die Eigenschaften nutzen sollen und den Algorithmus noch nicht hatten. Also wird es auch mit den Eigenschaften einen Weg geben, den ich grad nicht entdecke und ich dachte mir, dass mir dabei vielleicht jemand helfen könnte.
Ich werde den Gauß Algorithmuss jetzt nicht lernen, zumal wir ihn an späterer Stelle sowieso erlernen. Die Mittel, die wir jetzt haben sollten genügen, sonst wären die anderen vier Aufgaben dazu genauso nicht machbar gewesen.
Durch Vertauschen von Reihen bin ich noch nicht wirklich zum Ziel gekommen und wenn ich den Entwicklungssatz anwende, hatte ich bisher nur Zahlen, die sonstwie hoch waren und es kam bei weitem nicht Null raus.
Also falls du oder irgendjemand noch einen Vorschlag hat, dann wäre ich sehr dankbar dafür!
sunshinenight
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:09 Mo 24.10.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
tja, wenn du mit der Antwort nichts anfangen kannst, tut es mir leid, aber dann weiss ich einfach nicht, WAS du denn verwenden darfst.
Du hast geschrieben, dass du Zeilen vertauschen darfst, dann habt ihr doch bestimmt auch die Eigenschaften kennengelernt, was passiert, wenn man Zeilen addiert, oder?
Und wenn dies der Fall ist - dan schaue doch nochmal meine Loesung an - da steht dann naemlich, wie man eine Nullzeile erzeugen kann.
Wenn nicht, schreibe alles auf, was du verwenden darfst und am besten auch ein Beispiel, wie du es vorher ohne unsere Hilfe getan hast.
viele Gruesse
DaMenge
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