Determinante berechnen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:13 So 12.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Ich versuche gerade die Determinante dieser Matrix zu berechnen:
[mm]A = \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 } [/mm]
Ich will das ganze mit dem Gauss-Algo. lösen.
Nun wurde das schon vorgerechnet, aber ich habe noch einige Fragen.
Es wurde im ersten Schritt erste und zweite Zeile vertauscht, also:
[mm]det \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 } = -det\pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 5 & -9 & -8 \\ 3 & -4 & 2 } [/mm]
Nun wurde zum einen die erste Zeile mit 3 multipliziert, auf die zweite Zeile addiert und die erste mit 5 multipliziert und auf die dritte addiert.
[mm]det \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 } = -det\pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 5 & -9 & -8 \\ 3 & -4 & 2 } = -det \pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 0 & 21 & 27 \\ 0 & 14 & 23 }[/mm]
Bis hierhin verstehe ich alles bis auf eine Sache, die ich allgemein beim Gaus-Algo nicht verstanden habe.
Wir haben die erste Zeile doch mit 3 multipliziert, warum bleibt da dann -1 6 7 stehen, müsste man nicht -3 18 21 schreiben?
Also warum verändern sich die Zeilen bei Multiplikation mit einem Faktor nicht?
Denn hier wird es genau anders gemacht:
http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/1_gauss.htm
Nun wurde in der zweiten Zeile der Faktor 3 rausgezogen, aber ich würde es gerne anders machen.
Ich würde die zweite mit 2 multiplizieren und die dritte mit -3 und dann miteinander addieren.
[mm]det \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 } = -det\pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 5 & -9 & -8 \\ 3 & -4 & 2 } = -det \pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 0 & 21 & 27 \\ 0 & 14 & 23 } = -det \pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 0 & 21 & 27 \\ 0 & 0 & -15 }[/mm]
Nun steht in der Lösung, dass die Determinante von A 105 ist, ich erhalte aber [mm]-(-1*21*(-15))= -315[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
Mopsi
|
|
| |
|
Hallo Mopsi,
> Ich versuche gerade die Determinante dieser Matrix zu
> berechnen:
>
> [mm]A = \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 }[/mm]
>
> Ich will das ganze mit dem Gauss-Algo. lösen.
>
> Nun wurde das schon vorgerechnet, aber ich habe noch einige
> Fragen.
>
> Es wurde im ersten Schritt erste und zweite Zeile
> vertauscht, also:
>
> [mm]det \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 } = -det\pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 5 & -9 & -8 \\ 3 & -4 & 2 }[/mm]
>
> Nun wurde zum einen die erste Zeile mit 3 multipliziert,
> auf die zweite Zeile addiert und die erste mit 5
> multipliziert und auf die dritte addiert.
>
> [mm]det \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 } = -det\pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 5 & -9 & -8 \\ 3 & -4 & 2 } = -det \pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 0 & 21 & 27 \\ 0 & 14 & 23 }[/mm]
>
> Bis hierhin verstehe ich alles bis auf eine Sache, die ich
> allgemein beim Gaus-Algo nicht verstanden habe.
> Wir haben die erste Zeile doch mit 3 multipliziert, warum
> bleibt da dann -1 6 7 stehen, müsste man nicht -3 18 21
> schreiben?
Nein, da dieses 3-fache der ersten Zeile
zu einer anderen Zeile hinzuaddiert wurde.
> Also warum verändern sich die Zeilen bei Multiplikation
> mit einem Faktor nicht?
> Denn hier wird es genau anders gemacht:
> http://www.brinkmann-du.de/mathe/gost/1_gauss.htm
>
> Nun wurde in der zweiten Zeile der Faktor 3 rausgezogen,
> aber ich würde es gerne anders machen.
> Ich würde die zweite mit 2 multiplizieren und die dritte
> mit -3 und dann miteinander addieren.
>
> [mm]det \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 } = -det\pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 5 & -9 & -8 \\ 3 & -4 & 2 } = -det \pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 0 & 21 & 27 \\ 0 & 14 & 23 } = -det \pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 0 & 21 & 27 \\ 0 & 0 & -15 }[/mm]
>
Die 3.Zeile darf nur mit 1 multipliziert werden,
während die 2. Zeile auch mit einem Faktor
ungleich 1 multipliziert werden kann.
> Nun steht in der Lösung, dass die Determinante von A 105
> ist, ich erhalte aber [mm]-(-1*21*(-15))= -315[/mm]
>
> Was habe ich falsch gemacht?
>
> Mopsi
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 12.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Guten Abend, MathePower.
> > Nun wurde in der zweiten Zeile der Faktor 3 rausgezogen,
> > aber ich würde es gerne anders machen.
> > Ich würde die zweite mit 2 multiplizieren und die
> dritte
> > mit -3 und dann miteinander addieren.
> >
> > [mm]det \pmat{ 5 & -9 & -8 \\ -1 & 6 & 7 \\ 3 & -4 & 2 } = -det\pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 5 & -9 & -8 \\ 3 & -4 & 2 } = -det \pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 0 & 21 & 27 \\ 0 & 14 & 23 } = -det \pmat{ -1 & 6 & 7 \\ 0 & 21 & 27 \\ 0 & 0 & -15 }[/mm]
>
> >
>
>
> Die 3.Zeile darf nur mit 1 multipliziert werden,
> während die 2. Zeile auch mit einem Faktor
> ungleich 1 multipliziert werden kann.
Wieso darf die dritte Zeile nur mit 1 multipliziert werden?
Ist das eine Regel? Kann man das verallgemeinern? Ist es immer die letzte Zeile die nur mit 1 multipliziert werden kann?
Dankeschön
|
|
|
| |
|
Hallo,
die Zeile, die verändert wird, darf nicht multipliziert werden.
Betrachten wir det[mm]\pmat{ 1& 2 \\ 3 & 4 } [/mm]:
(im Geiste) obere Zeile *(-3), zur unteren addieren:
[mm] det\pmat{ 1& 2 \\ 3 & 4 }=det\pmat{ 1& 2 \\ 0 & -2 }
[/mm]
Du kannst auch, wenn Dir danach zumute ist, aus Jux und Dollerei (im Geiste) die untere Zeile mit 100 multiplizieren und zur oberen addieren:
[mm] det\pmat{1& 2 \\ 3 & 4 }=det\pmat{ 301& 402 \\ 3 & 4 }
[/mm]
Wenn Du Zeilen, die verändert werden multiplizierst, mußt Du das ausgleichen, damit die Determinante nicht verkehrt wird:
multipliziere ich (im Geiste) die untere Zeile mit -2 und addiere sie zum 6-fachen der oberen, so ist
[mm] det\pmat{ 1& 2 \\ 3 & 4 }=\bruch{1}{6}*det\pmat{ 0& 4 \\ 3 & 4 }.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du den Sachverhalt an meinne kleinen Beispielen verstehen konntest.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:00 So 12.05.2013 | | Autor: | Mopsi |
Hallo Angela.
Genau das habe ich gebraucht!
Vielen Dank, nun habe ich auch die richtige Lösung für die Aufgabe :)
Mopsi
|
|
|
|
