Determinante berechnen < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Franhu |
| Aufgabe | Berechne die Determinanten folgender Matrizen; ist die Determinante [mm] \not= [/mm] 0, berechne die inverse Matrix.
a) [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ -3 & 2 & -5 & 13 \\ 1 & -2 & 10 & 4 \\ -2 & 9 & -8 & 25}
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -1 & 3 \\ -1 & -1 & 4 & 3 \\ -3 & 0 & -8 & -13}
[/mm]
c) [mm] \pmat{ 1001 & 1002 & 1003 & 1004 \\ 1002 & 1003 & 1001 & 1002 \\ 1001 & 1001 & 1001 & 999 \\ 1001 & 1000 & 998 & 999} [/mm] |
Hallo Zusammen
Ich bin nun schon seit einiger Zeit daran, die Matrizen in Dreiecksform zu bringen, um die Determinante aus dem Produkt der Diagonale zu bestimmen... leider ohne Erfolg. Kann es sein, dass dies nicht möglich ist? Falls ja, muss ich die Determinante mit der Leibnizformel ausrechnen, nur verstehe ich diese nicht.
Könnte mir jemand dazu ein ausführliches Beispiel anhand einer dieser Matrizen zeigen, damit ich den Rest alleine lösen kann?
Darf ich bei Zeilenumformungen zur Berechnung der Determinante, die Zeilen mit einem Faktor multiplizieren oder verändert sich dadurch der Wert der Determinante?
Riesengrosses Dankeschön!
Gruss Franhu
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Hallo,
> Darf ich bei Zeilenumformungen zur Berechnung der
> Determinante, die Zeilen mit einem Faktor multiplizieren
> oder verändert sich dadurch der Wert der Determinante?
Das verändert den Wert der Determinante. Wenn du eine Zeile mit k multiplizierst, hast du nachher auch die k-fache Determinante. Das kann man aber durch Vorfaktoren wieder ausgleihcen. Vielleicht hilft dir das schon weiter?
Gruß, Diophant
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Hallo Franhu,
> Berechne die Determinanten folgender Matrizen; ist die
> Determinante [mm]\not=[/mm] 0, berechne die inverse Matrix.
>
> a) [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\
-3 & 2 & -5 & 13 \\
1 & -2 & 10 & 4 \\
-2 & 9 & -8 & 25}[/mm]
>
> b) [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & -2 \\
1 & 3 & -1 & 3 \\
-1 & -1 & 4 & 3 \\
-3 & 0 & -8 & -13}[/mm]
>
> c) [mm]\pmat{ 1001 & 1002 & 1003 & 1004 \\
1002 & 1003 & 1001 & 1002 \\
1001 & 1001 & 1001 & 999 \\
1001 & 1000 & 998 & 999}[/mm]
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> Hallo Zusammen
>
> Ich bin nun schon seit einiger Zeit daran, die Matrizen in
> Dreiecksform zu bringen, um die Determinante aus dem
> Produkt der Diagonale zu bestimmen... leider ohne Erfolg.
Was heißt "ohne Erfolg"? Die Dreiecksform lässt sich doch bei allen dreien leicht bilden.
> Kann es sein, dass dies nicht möglich ist? Falls ja, muss
> ich die Determinante mit der Leibnizformel ausrechnen, nur
> verstehe ich diese nicht.
Die Leibnizformel ist ehrlich gesagt kein praktisches Instrument. Man verliert zu leicht den Überblick über das Signum der Permutationen. Besser ist die Entwicklung nach Laplace - hattet Ihr die?
> Könnte mir jemand dazu ein ausführliches Beispiel anhand
> einer dieser Matrizen zeigen, damit ich den Rest alleine
> lösen kann?
Sorry, so viel Zeit habe ich gerade nicht. Es dauert halt, das alles aufzuschreiben.
> Darf ich bei Zeilenumformungen zur Berechnung der
> Determinante, die Zeilen mit einem Faktor multiplizieren
> oder verändert sich dadurch der Wert der Determinante?
Das hat Diophant ja schon beantwortet.
Es gibt allerdings eine Einschränkung, die dir vor allem ermöglicht, mit dem Gaußverfahren die Matrix erst einmal in eine bequemere Form zu bringen, z.B. in die obere Dreiecksform:
Du darfst zu jeder Zeile beliebige Vielfache anderer Zeilen addieren oder sie subtrahieren. Entscheidend ist dabei allein der Faktor vor der Zeile, die Du gerade bearbeitest. Für diesen Faktor gilt das von Diophant Gesagte.
Das heißt also: wenn du im Gaußverfahren z.B. die zweite Zeile so bearbeiten willst, dass danach (II-2*I) da steht, dann hat sich die Determinante nicht geändert. Soll aber (2*II-I) da stehen, dann verdoppelst Du damit die Determinante. Entsprechend bewirkt (3*II-14*I+8*III) eine Verdreifachung.
Wenn Du zwei Zeilen vertauschst, dann ändert sich das Vorzeichen der Determinante.
Zur Kontrolle Deiner Rechnung gibt es übrigens viele Online-Rechner für Determinanten.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Franhu |
Vielen Dank für die schnellen Antworten, die haben mich nun schon um einiges weitergebracht, ich darf ja auch Zeilen vertauschen ;)
Darf ich eigentlich auch die Matrix zuerst vereinfachen, damit in einer Zeile zum Beispiel 3 Nullen stehen, und dann die Matrix nach dieser Zeile entwickeln? dann müsste ich ja nur noch von einer 3x3 Matrix die Determinante bestimmen und mal den Faktor rechnen?
Gruss Franhu
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Hallo nochmal,
> Vielen Dank für die schnellen Antworten, die haben mich
> nun schon um einiges weitergebracht, ich darf ja auch
> Zeilen vertauschen ;)
Solange Du aufs Vorzeichen achtest, ja. Und bei einer "Verschiebung" von Zeilen musst Du genau überlegen, durch wieviele Tauschvorgänge diese Verschiebung zu ersetzen wäre.
> Darf ich eigentlich auch die Matrix zuerst vereinfachen,
> damit in einer Zeile zum Beispiel 3 Nullen stehen, und dann
> die Matrix nach dieser Zeile entwickeln? dann müsste ich
> ja nur noch von einer 3x3 Matrix die Determinante bestimmen
> und mal den Faktor rechnen?
Ja, genauso macht man das. Bei größeren Determinanten lohnt sich das besonders. Vielleicht schafft man ja bei einer [mm] $5\times{5}$-Matrix [/mm] sogar, dass selbst die nächste Entwicklungsstufe so leicht verläuft...
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Mi 19.12.2012 | | Autor: | Franhu |
Ich habe die erste Spalte auf die Form 1 0 0 0 gebracht und nach dieser Spalte dann entwickelt um die Determinante berechnen zu können.
Leider kriege ich diese Matrizen nicht in die Dreiecksform, ich weiss auch nicht warum. Kann mir jemand einen Tipp geben, damit man richtig anfängt oder müsste ich das bei diesen Matriizen direkt sehen? Sollte man damit anfangen die unterste Zeile auf die Form 0 0 0 x zu bringen und dann nach die 3. auf 0 0 x x und dann die 2. auf 0 x x x bringen?
Gruss und Danke
Franhu
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Hi!
> Leider kriege ich diese Matrizen nicht in die Dreiecksform,
> ich weiss auch nicht warum. Kann mir jemand einen Tipp
> geben, damit man richtig anfängt oder müsste ich das bei
> diesen Matriizen direkt sehen? Sollte man damit anfangen
> die unterste Zeile auf die Form 0 0 0 x zu bringen und dann
> nach die 3. auf 0 0 x x und dann die 2. auf 0 x x x
> bringen?
Versuche so vorzugehen:
0000 0000 0000 0000
0000 x000 x000 x000
0000 x000 xx00 xx00
0000 x000 xx00 xxx0
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