www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Determinanten" - Determinante Matrix Herleitung
Determinante Matrix Herleitung < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Determinanten"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Determinante Matrix Herleitung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:36 Mo 18.10.2021
Autor: teskiro

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix aufgespannten Parallelotops.

Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2 - Matrix und einer 3x3 - Matrix.


Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:


Für die Determinante einer Matrix

$A = [mm] (a_{1}, a_{2}) [/mm] = $ [mm] \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in [/mm] Mat(2, [mm] \mathbb{R}) [/mm] gilt $det(A) = [mm] \vert a_{11} \cdot a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} \cdot a_{21} \vert$ [/mm]



Zudem ist die Determinante von $A$ gleich dem Flächeninhalt des von den Spalten der Matrix aufgespannten Parallelogramms.

Für den Fächeninhalt $A$ des Parallelogramms gilt:

$A = [mm] \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} [/mm] = [mm] \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} [/mm] + [mm] \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} [/mm] = [mm] \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}$ [/mm]


Meine Frage ist nun:

Wie kommt man von $ [mm] \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}$ [/mm] auf [mm] $\vert a_{11} \cdot a_{22} [/mm] - [mm] a_{12} \cdot a_{21} \vert$ [/mm] ?

Ich habe versucht, die Gleichheit zu zeigen, aber bei mir fallen die Quadrate einfach nicht weg.

Wäre froh, wenn mir jemand an dieser Stelle helfen könnte.


Die Sarrus - Regel lässt sich induktiv wahrscheinlich genauso herleiten, daher muss ich nur wissen, wie man die obige Gleichheit zeigt.


Liebe Grüße, Tim

        
Bezug
Determinante Matrix Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 07:33 Mo 18.10.2021
Autor: statler

Guten Morgen!

> Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante
> einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix
> aufgespannten Parallelotops.
>  
> Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2
> - Matrix und einer 3x3 - Matrix.
>  
>
> Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:
>  
>
> Für die Determinante einer Matrix
>
> [mm]A = (a_{1}, a_{2}) =[/mm] [mm]\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in[/mm]
> Mat(2, [mm]\mathbb{R})[/mm] gilt [mm]det(A) = \vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]

So nicht, da gilt [mm]det(A) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} [/mm]

> Zudem ist die Determinante von [mm]A[/mm] gleich dem Flächeninhalt
> des von den Spalten der Matrix aufgespannten
> Parallelogramms.
>  
> Für den Fächeninhalt [mm]A[/mm] des Parallelogramms gilt:
>  
> [mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} + \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} = \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]

Das stimmt schon aus Dimensionsgründen nicht, [mm] $\sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} [/mm] + [mm] \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}}$ [/mm] hat die Dimension einer Länge. Und außerdem ist für [mm] $a_{1} [/mm] = [mm] a_{2}$ [/mm] der Flächeninhalt 0.

Da muß ein neuer Ansatz her!

Gruß Dieter


Bezug
        
Bezug
Determinante Matrix Herleitung: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:07 Mo 18.10.2021
Autor: meili

Hallo teskiro,

> Hallo, ich habe eine Frage bezüglich der Determinante
> einer Matrix und dem Volumen des von den Spalten der Matrix
> aufgespannten Parallelotops.
>  
> Mich interessiert die Herleitung der Determinante einer 2x2
> - Matrix und einer 3x3 - Matrix.
>  
>
> Fangen wir bei einer 2x2 - Matrix an:
>  
>
> Für die Determinante einer Matrix
>
> [mm]A = (a_{1}, a_{2}) =[/mm] [mm]\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \in[/mm]
> Mat(2, [mm]\mathbb{R})[/mm] gilt [mm]det(A) = \vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]
>  
>
>
> Zudem ist die Determinante von [mm]A[/mm] gleich dem Flächeninhalt
> des von den Spalten der Matrix aufgespannten
> Parallelogramms.
>  
> Für den Fächeninhalt [mm]A[/mm] des Parallelogramms gilt:
>  
> [mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} + a_{21}^{2}} + \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} = \sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]

[mm]A = \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} [/mm] gilt nicht allgemein für die Fläche des Parallelogramms,
sondern nur wenn [mm] $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$ [/mm] einen rechten Winkel einschließen,
also das Parallelogramm ein Rechteck ist.

Weiter ist
[mm] \| a_{1} \|_{2} \cdot \| a_{2} \|_{2} = \sqrt{a_{11}^{2} +a_{21}^{2}} \cdot \sqrt{a_{12}^{2} + a_{22}^{2}} [/mm]

>  
>
> Meine Frage ist nun:
>
> Wie kommt man von [mm]\sqrt{\left ( a_{11}^{2} + a_{21}^{2} \right ) \cdot \left ( a_{12}^{2} + a_{22}^{2} \right )}[/mm]
> auf [mm]\vert a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21} \vert[/mm]
> ?
>  
> Ich habe versucht, die Gleichheit zu zeigen, aber bei mir
> fallen die Quadrate einfach nicht weg.
>
> Wäre froh, wenn mir jemand an dieser Stelle helfen
> könnte.
>  
>
> Die Sarrus - Regel lässt sich induktiv wahrscheinlich
> genauso herleiten, daher muss ich nur wissen, wie man die
> obige Gleichheit zeigt.
>  
>
> Liebe Grüße, Tim

Gruß
meili

Bezug
        
Bezug
Determinante Matrix Herleitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:21 Di 19.10.2021
Autor: fred97

Dir wurde schon gesagt, dass Deine "Formel" für den Flächeninhalt falsch ist.

Hier

https://de.wikipedia.org/wiki/Parallelogramm

findest Du eine Herleitung des Flächeninhaltes, die Deine Wünsche erfüllt.

Bezug
                
Bezug
Determinante Matrix Herleitung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Do 21.10.2021
Autor: teskiro

Ich bedanke mich für alle Antworten! :) Sorry, wenn die Rückmeldung etwas gedauert hat, bin diese Woche ein bisschen im Stress.
Ich werde mir den Wiki - Artikel morgen durchlesen, vielleicht werde ich schlauer daraus.

Liebe Grüße,
Tim

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Determinanten"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]