Determinante Endomorphismus < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | K sei in Körper, V ein K-Vektorraum und [mm] F\in End_K(V)
[/mm]
a) Die Determinante des Endomorphismus ist definiert:
Wähle eine Basis B von V und bilde [mm] det(F)=det(M_B^B(F))
[/mm]
Zeige, dass dies wohldefiniert ist, also unabhängig vond er Wahl der Basis B.
b) Für [mm] n\in \IN [/mm] sei [mm] V_n=Lin(1,...,X^n) \subset \IR[x] [/mm] mit der Basis [mm] B_n=(1,...,X^n) [/mm] und [mm] \psi_n [/mm] für [mm] n\in \IN [/mm] die wie folgt definierte Abbildung:
[mm] \psi_n:V_n \to V_n, f\to [/mm] f'-f
Zeige, dass [mm] \psi_n [/mm] linear ist und bestimme die Determinante von [mm] \psi [/mm] |
a) dazu habe ich folgende Idee:
det(F) ist unabhängig von der Basis B, das muss gezeigt werden.
Angenommen B' ist eine weitere Basis von V.
Dann muss ja auch eigentlich gelten [mm] M_B'^B'(F)=T^{-1}M_B^B(F)T [/mm] und T muss dann doch eigentlich so aussehen:
[mm] T=M_B'^B(id)
[/mm]
Wenn ich dann nun die Determinante bestimmen soll muss ich folgendes tun:
det [mm] (M_B'^B'(F))=det(T^{-1}M_B^B(F)T)=det (T^{-1})*detM_B^B(F)*det(T)=det(M_B'^B'(F))
[/mm]
Das reicht aber sicher nicht um das zu zeigen. Aber eine andere Idee hab ich leider nicht....könnt ihr mir da Tipps geben?
zu b) Leider gar keine Idee das zu zeigen.
Ich muss zeigen, das [mm] \psi [/mm] linear ist.
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:40 Do 26.01.2012 | | Autor: | hippias |
> K sei in Körper, V ein K-Vektorraum und [mm]F\in End_K(V)[/mm]
>
> a) Die Determinante des Endomorphismus ist definiert:
> Wähle eine Basis B von V und bilde [mm]det(F)=det(M_B^B(F))[/mm]
>
> Zeige, dass dies wohldefiniert ist, also unabhängig vond
> er Wahl der Basis B.
>
>
> b) Für [mm]n\in \IN[/mm] sei [mm]V_n=Lin(1,...,X^n) \subset \IR[x][/mm] mit
> der Basis [mm]B_n=(1,...,X^n)[/mm] und [mm]\psi_n[/mm] für [mm]n\in \IN[/mm] die wie
> folgt definierte Abbildung:
> [mm]\psi_n:V_n \to V_n, f\to[/mm] f'-f
> Zeige, dass [mm]\psi_n[/mm] linear ist und bestimme die
> Determinante von [mm]\psi[/mm]
> a) dazu habe ich folgende Idee:
>
> det(F) ist unabhängig von der Basis B, das muss gezeigt
> werden.
>
> Angenommen B' ist eine weitere Basis von V.
> Dann muss ja auch eigentlich gelten
> [mm]M_B'^B'(F)=T^{-1}M_B^B(F)T[/mm] und T muss dann doch eigentlich
> so aussehen:
>
> [mm]T=M_B'^B(id)[/mm]
>
> Wenn ich dann nun die Determinante bestimmen soll muss ich
> folgendes tun:
>
> det [mm](M_B'^B'(F))=det(T^{-1}M_B^B(F)T)=det (T^{-1})*detM_B^B(F)*det(T)=det(M_B'^B'(F))[/mm]
>
> Das reicht aber sicher nicht um das zu zeigen. Aber eine
> andere Idee hab ich leider nicht....könnt ihr mir da Tipps
> geben?
Das ist schon gut; Du koenntest vielleicht noch [mm] $\ldots [/mm] =det [mm] (T^{-1})*detM_B^B(F)*det(T)= det(T)^{-1}*detM_B^B(F)*det(T)=det(M_B^B(F))$ [/mm] (Achtung: am Ende $B$, nicht $B'$!) einfuegen. Damit hast Du den Nachweis der Wohldefiniertheit ganz klar erbracht: Egal, wie man die Basis waehlt, ergibt sich die gleiche Determinante.
>
> zu b) Leider gar keine Idee das zu zeigen.
> Ich muss zeigen, das [mm]\psi[/mm] linear ist.
>
Genau: Weise Linearitaet und Additivaet nach.
>
> MfG
> Mathegirl
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Vielen Dank für den Hinweis, ich habe deine Korrektur noch ergänzt. Bei den letzten B' hab ich mich vertippt, gemeint war B ;)
Allerdings habe ich zu Aufgabenteil b) keine idee wie ich hier Linearität und Additivität zeigen soll.
[mm] V_n [/mm] wird auf [mm] V_n [/mm] abgebildet.
Aber das genau ist mit [mm] f\mapsto [/mm] f'-f gemeint?
Könnt ihr mir vielleicht Tipps geben wie ich das hier zeigen kann?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:01 Fr 27.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für den Hinweis, ich habe deine Korrektur noch
> ergänzt. Bei den letzten B' hab ich mich vertippt, gemeint
> war B ;)
>
> Allerdings habe ich zu Aufgabenteil b) keine idee wie ich
> hier Linearität und Additivität zeigen soll.
>
> [mm]V_n[/mm] wird auf [mm]V_n[/mm] abgebildet.
> Aber das genau ist mit [mm]f\mapsto[/mm] f'-f gemeint?
Ist f [mm] \in V_n, [/mm] so hat doch f die Gestalt
[mm] $f(X)=a_0+a_1X+a_2X^2+...+a_nX^n$
[/mm]
Dann ist
[mm] $f'(X)=a_1+2a_2X+...+na_nX^{n-1}$
[/mm]
[mm]f\mapsto[/mm] f'-f bedeutet: f wird das Polynom f'-f zugeordnet.
Von dieser Abb. sollst Du zeigen, dass sie linear ist.
FRED
>
> Könnt ihr mir vielleicht Tipps geben wie ich das hier
> zeigen kann?
>
> MfG
> Mathegirl
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Achso, hier ist quasi die "Ableitung" mit f' gemeint. darauf wäre ich jetzt nicht gekommen. Danke!
Aber ich bin mir noch immer nicht sicher wie ich hier eine Linearkombination bilden soll.
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Fr 27.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Achso, hier ist quasi die "Ableitung" mit f' gemeint.
> darauf wäre ich jetzt nicht gekommen. Danke!
Ja, aber wiese "quasi" ?
>
> Aber ich bin mir noch immer nicht sicher wie ich hier eine
> Linearkombination bilden soll.
Du wirst doch Polynome addieren können !
FRED
>
> MfG
> mathegirl
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Addieren? Aber es ist doch f'-f??
ok...addiert sieht das so aus:
[mm] a_0+a_1(1+X)+a_2(2X+X^2)+...+a_n(nX^{n-1}+X^n)
[/mm]
Richtig so?
MfG
Mathegirl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:23 Fr 27.01.2012 | | Autor: | hippias |
> Addieren? Aber es ist doch f'-f??
>
> ok...addiert sieht das so aus:
>
> [mm]a_0+a_1(1+X)+a_2(2X+X^2)+...+a_n(nX^{n-1}+X^n)[/mm]
>
> Richtig so?
>
>
> MfG
> Mathegirl
Richtig: Das ist $f'+f$, hat aber nichts mit Deinem Problem zu tun. Was Fred97 ganz bestimmt meinte war die Summe, die in der Definition eines Endomorphismuses auftaucht. Sieh also nach, welche Eigenschaften ein VR-Endomorphismus haben muss und pruefe, ob Dein [mm] $\psi_{n}$ [/mm] sie hat.
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In der Aufgabe hier es: zeige, dass [mm] \psi_n [/mm] linear ist und Bestimme die Determinante von [mm] \psi.
[/mm]
Und da liegt mein Problem:
muss ich erst f'-f "berechnen"? und von f'-f Linearität zeigen? also dass alle [mm] a_i=0 [/mm] sein müssen?
MfG
mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:32 Fr 27.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> In der Aufgabe hier es: zeige, dass [mm]\psi_n[/mm] linear ist und
> Bestimme die Determinante von [mm]\psi.[/mm]
>
> Und da liegt mein Problem:
> muss ich erst f'-f "berechnen"? und von f'-f Linearität
> zeigen?
Unsinn !!
>
Du solst zeigen, dass [mm]\psi_n[/mm] linear ist
FRED
> also dass alle [mm]a_i=0[/mm] sein müssen?
>
>
> MfG
> mathegirl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 Fr 27.01.2012 | | Autor: | heinze |
Bei diesem Beispiel bin ich mir auch nicht sicher wie man die Linearität zeigen soll.
Für Linearität muss ich allgemein gesagt zeigen:
f(u+v)=f(u)+f(v)
[mm] f(\lambda u)=\lambda [/mm] f(u)
Gibts vielleicht einen Ansatz wie ich anfangen kann? :)
LG heinze
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Hallo heinze,
> Bei diesem Beispiel bin ich mir auch nicht sicher wie man
> die Linearität zeigen soll.
>
> Für Linearität muss ich allgemein gesagt zeigen:
>
> f(u+v)=f(u)+f(v)
> [mm]f(\lambda u)=\lambda[/mm] f(u)
>
> Gibts vielleicht einen Ansatz wie ich anfangen kann? :)
Na, was bildet [mm]\psi_n[/mm] denn ab?
Doch Polynome.
Setze also an:
[mm]\psi_n(f+g)=(f+g)'-(f+g)=\ldots=\psi_n(f)+\psi_n(g)[/mm]
Die paar Pünktchen kannst du sicher ausfüllen, und die Verträglichkeit mit der Multiplikation mit Skalaren bekommst du auch hin, da bin ich sicher!
>
> LG heinze
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:45 Sa 28.01.2012 | | Autor: | heinze |
[mm] \psi_n=((a_0+b_0)+(a_1X+b_1X)+...+(a_nX^n+b_nX^n)) [/mm] = [mm] ((a_1+b_1)+(2a_2X+2b_2X)+...+(na_nX^{n-1}+nb_nX^{n-1})-(a_0+b_0)+a_1X+b_1X)+...+(a_nX^n+b_nX^n))
[/mm]
= hier weiß ich nicht wie es weiter geht, was sich hier auflöst?
[mm] =\psi(a_0+a_1X+...+a_nX^n)+\psi(b_0+b_1X+...+b_nX^n)
[/mm]
soweit richtig?
Das gleiche nun mit [mm] \psi(\lambda f)=(\lambda f)-(\lambda [/mm] f)' = [mm] \lambda \psi [/mm] (f)
[mm] \psi(\lambda(a_0+a_1X+...+a_nX^n))=....
[/mm]
Richtig?
Könnt ihr mir noch Tipps geben wie ich die Determinante von [mm] \psi [/mm] bestimmen kann?
LG heinze
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> [mm]\psi_n=((a_0+b_0)+(a_1X+b_1X)+...+(a_nX^n+b_nX^n))[/mm] =
> [mm]((a_1+b_1)+(2a_2X+2b_2X)+...+(na_nX^{n-1}+nb_nX^{n-1})\red{)}-\red{(}(a_0+b_0)+a_1X+b_1X)+...+(a_nX^n+b_nX^n))[/mm]
>
> = hier weiß ich nicht wie es weiter geht, was sich hier
> auflöst?
>
> [mm]=\psi(a_0+a_1X+...+a_nX^n)+\psi(b_0+b_1X+...+b_nX^n)[/mm]
>
> soweit richtig?
Hallo,
ja.
Rechne doch jetzt von der letzten Zeile aufwärts, bis Du die zweite Zeile triffst.
>
>
> Das gleiche nun mit [mm]\psi(\lambda f)=(\lambda f)-(\lambda[/mm]
> f)' = [mm]\lambda \psi[/mm] (f)
>
> [mm]\psi(\lambda(a_0+a_1X+...+a_nX^n))=....[/mm]
>
> Richtig?
Hm? Man sieht wenig Gerechnetes, über dessen Richtigkeit man entscheiden könnte. Aber das, was dasteht, stimmt.
>
> Könnt ihr mir noch Tipps geben wie ich die Determinante
> von [mm]\psi[/mm] bestimmen kann?
Schau Dir an, wie in der Aufgabenstellung die Det. eines Endomorphismus definiert wurde. Dann wird Dir klar werden, daß Du eine Darstellungsmatrix brauchst.
LG Angela
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:21 So 29.01.2012 | | Autor: | heinze |
Das habe ich mir erahnt.
[mm] det(\psi_n)=det(M_B^B(\psi))
[/mm]
Dann ist die Darstellungsmatrix [mm] M_B^B(\psi) [/mm] von [mm] \psi [/mm] bezüglich der Basen B im Urbildraum und B im Bildraum stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinanten bezüglich S.
Das Problem ist hier die Basis als Polynom, beziehungsweise dass das Polynom bis n geht. Ich bin mir nicht sicher wie ich die Darstellungsmatrix von Polynomen berechne.
1 [mm] \mapsto [/mm] 1*(0-1)=-1
X [mm] \mapsto X*(1-X)=X-X^2
[/mm]
[mm] X^2 \mapsto X^2*(2X-X^2)=2X^3-X^4
[/mm]
.......
[mm] X^n \mapsto X^n*(nX^{n-1}-X^n)=nX^{n^2-n}-X^n)
[/mm]
In der Berechnung von Darstellungsmatrizen bei Polynomen bin ich noch nicht sehr geübt.
LG heinze
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> Das habe ich mir erahnt.
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> [mm]det(\psi_n)=det(M_B^B(\psi))[/mm]
>
> Dann ist die Darstellungsmatrix [mm]M_B^B(\psi)[/mm] von [mm]\psi[/mm]
> bezüglich der Basen B im Urbildraum und B im Bildraum
> stehen die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinanten
> bezüglich S.
Hallo,
ich komme mit der Grammatik nicht ganz mit, ahne aber, was Du sagen möchtest.
Achtung: eine zweite Basis S hat hier nichts verloren! Bei der Determinante braucht mn immer die Darstellungsmatrix bzgl derseben Basis im Bild- und Urbildraum.
Du brauchst also die Darstellungsmatrix bzgl B in Start- und Zielraum,
mußt also die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl B bestimmen.
>
> Das Problem ist hier die Basis als Polynom, beziehungsweise
> dass das Polynom bis n geht.
Mir ist nicht ganz klar, was Du meinst.
Wir haben hier keine "Basis als Polynom".
Sondern: wir haben einen Basis, welche aus den n+1 Vektoren [mm] 1,x,x^2,...,x^n [/mm] besteht.
Die Vektoren (=Elemente des Vektorraumes) sind hier Polynome, denn die Elemente des Vektorraumes sind ja Polynome.
Daß wir den Vektorraum [mm] V_n [/mm] betrachten, also den der Polynome vom Höchstgrad n, ist eigentlich vegleichsweise beruhigend, jedenfalls für mich: zwar ist das n beliebig, aber es ist fest. Wir wissen, daß keine Polynome höheren Grade vorkommen.
Brenzlich wär's hingegen, wenn man einfach nur den Vektorraum der Polynome hätte, denn der ist unendlichdimensional, und man hätte ernsthafte Schwierigkeiten, die Matrix aufzustellen. Es ginge nämlich nicht...
Ich verstehe aber, daß es Dir angenehmer wäre, zunächst eine konkrete Zahl für n zu haben. So what? Lös die Aufgabe doch einfach erstmal für n=5. Wenn Du das kannst, kannst Du es auch allgemein für n.
Machen wir es also mal für n=5.
Was ist
[mm] \psi(1)=
[/mm]
[mm] \psi(x)=
[/mm]
[mm] \psi(x^2)=
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \psi(x^5)=
[/mm]
Schreibe die Ergebnisse, wenn Du sie hast, auch gleich als Linearkombination von [mm] (1,x,x^2,...,x^5), [/mm] schreib den Koordinatenvektor hin, dann die Matrix und berechne ihre Determinante.
Bei Nachfragen keinen Schritt auslassen!
LG Angela
> Ich bin mir nicht sicher wie
> ich die Darstellungsmatrix von Polynomen berechne.
>
> 1 [mm]\mapsto[/mm] 1*(0-1)=-1
> X [mm]\mapsto X*(1-X)=X-X^2[/mm]
> [mm]X^2 \mapsto X^2*(2X-X^2)=2X^3-X^4[/mm]
>
> .......
> [mm]X^n \mapsto X^n*(nX^{n-1}-X^n)=nX^{n^2-n}-X^n)[/mm]
>
> In der Berechnung von Darstellungsmatrizen bei Polynomen
> bin ich noch nicht sehr geübt.
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 So 29.01.2012 | | Autor: | triad |
$ [mm] \psi(1)= [/mm] 1'-1 = 0-1 = -1 $ = -1 [mm] \cdot [/mm] 1 + 0 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \ldots [/mm] + 0 [mm] \cdot x^n [/mm]
$ [mm] \psi(x)= [/mm] x'-x = 1-x $ = 1 [mm] \cdot [/mm] 1 + -1 [mm] \cdot [/mm] x + [mm] \ldots [/mm] + 0 [mm] \cdot x^n [/mm]
$ [mm] \psi(x^n)= n\cdot x^{n-1}-x^n [/mm] $ = [mm] \ldots [/mm] + n [mm] \cdot x^{n-1} [/mm] + -1 [mm] \cdot x^n [/mm] .
Das ergibt die Matrix [mm] M_B^B(\psi_n) [/mm] = [mm] \pmat{ -1 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & -1 & 2 & \ldots & 0 \\ 0 & 0 & -1 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & n^{\vdots} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -1} [/mm] (?)
Also [mm] det(M_B^B(\psi_n)) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1} [/mm] . Da die Matrix in Dreiecksform ist, ist die Determinante das Produkt der Diagonalelemente.
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Hallo,
richtig.
LG Angela
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