Determinante = 0 ? < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | Für welchen Wert wird die Determinante = 0 ?
$ [mm] \pmat{ 1+t & 0 & 0 & 0 \\ \pi & 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & t & 3 } [/mm] $ |
Hallo,
soweit ich weiß wird die Determinante immer 0 wenn es keine inverse einer Matrix gibt.
Wie bemerke ich, dass es keine inverse einer Matrix gibt? Nur durch "langes" rumrechnen und eine Inverse bei dieser Größe bilden dauert ja seine Zeit.
Bei meiner Aufgabenstellung würde ich sagen wenn 1+t den Wert 0 annimmt wird die Determinante 0. Stimmt das?
Gibt es weitere Tipps zu meiner Frage?
Gruß und Danke im Voraus!
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Hallo Haiza,
> Für welchen Wert wird die Determinante = 0 ?
> [mm]\pmat{ 1+t & 0 & 0 & 0 \\ \pi & 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & t & 3 }[/mm]
>
Führe Laplaceentwicklung nach der ersten Zeile der Matrix A(t) durch:
[mm] \det A(t)=\det\pmat{ 1+t & 0 & 0 & 0 \\ \pi & 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & t & 3 }=(1+t)\det\pmat{ 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & t & 3 }
[/mm]
Die verbleibende [mm] 3\times3 [/mm] Determinante kannst du mit der Regel von Sarrus berechnen. Am Ende hast du ein Polynom in t und musst die Gleichung [mm] \det [/mm] A(t)=0 lösen. Eine Lösung ist, wie du schon angedeutet hast, t=-1, aber das ist nicht die einzige.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:10 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Haiza |
> Eine Lösung
> ist, wie du schon angedeutet hast, t=-1, aber das ist nicht
> die einzige.
Ich hatte angedeutet das eine Lösung ist, wenn man t-1 durch eine 0 in der Matrix ersetzt. Wenn man dann nach der ersten Zeile auflöst ergibt det(A)=0.
Was für Möglichkeiten gibt es noch?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:19 Fr 16.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
> > Eine Lösung
> > ist, wie du schon angedeutet hast, t=-1, aber das ist nicht
> > die einzige.
>
> Ich hatte angedeutet das eine Lösung ist, wenn man t-1
> durch eine 0 in der Matrix ersetzt. Wenn man dann nach der
> ersten Zeile auflöst ergibt det(A)=0.
Ja, das stimmt so.
>
> Was für Möglichkeiten gibt es noch?
>
> Gruß
Führe mal kamaleontis Rechnung zuende, dann ergeben sich ja noch weitere Lösungen für t, vielleicht erkennst du dann, welche Zeilen noch "Probleme bereiten".
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Haiza |
> [mm]\det A(t)=\det\pmat{ 1+t & 0 & 0 & 0 \\ \pi & 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & t & 3 }=(1+t)\det\pmat{ 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & t & 3 }[/mm]
Hm ich glaube/weiß, dass irgendwo ein Fehler ist, weiß aber nicht wo.
$ 1 [mm] \cdot \pmat{ 3 & 1 \\ t & 3 } [/mm] - 2 [mm] \cdot \pmat{ 4 & 5 \\ t & 3 } [/mm] $
$ (t-9)-(10t-24) $
$ -9t-33 $
$ (1+t) [mm] \cdot [/mm] (-9t-33) $
$ [mm] -9t-29-9t^2-33t [/mm] $
$ [mm] -9t^2-42t-33 [/mm] $
Dann hätte ich die pq Formel angewand, aber das sind jetzt schon alles viel zu krumme Zahlen. Daran sehe ich, dass irgendwo der Fehlerteufel drin steckt, aber wo?
Gruß
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> > [mm]\det A(t)=\det\pmat{ 1+t & 0 & 0 & 0 \\ \pi & 1 & 4 & 5 \\ 4 & 2 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & t & 3 }=(1+t)\det\pmat{ 1 & 4 & 5 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & t & 3 }[/mm]
>
> Hm ich glaube/weiß, dass irgendwo ein Fehler ist, weiß
> aber nicht wo.
>
> [mm]1 \cdot \pmat{ 3 & 1 \\ t & 3 } - 2 \cdot \pmat{ 4 & 5 \\ t & 3 }[/mm]
>
> [mm](t-9)-(10t-24)[/mm]
> [mm]-9t-33[/mm]
Ab hier wird es falsch.
Die Determinante einer $2 [mm] \times [/mm] 2$ Matrix [mm] $\pmat{a & b \\ c & d}$ [/mm] berechnet sich als ad - bc.
Du hast hier also einige Vorzeichenfehler (beim ausrechnen der Klammern auch), berichtige die mal und rechne dann nochmal. ;)
bzw. ein paar "=" haben noch nie jemandem geschadet, vor allem nicht der Übersichtlichkeit. ;)
>
> [mm](1+t) \cdot (-9t-33)[/mm]
> [mm]-9t-29-9t^2-33t[/mm]
> [mm]-9t^2-42t-33[/mm]
>
> Dann hätte ich die pq Formel angewand, aber das sind jetzt
> schon alles viel zu krumme Zahlen. Daran sehe ich, dass
> irgendwo der Fehlerteufel drin steckt, aber wo?
>
> Gruß
MfG
Schadow
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Haiza |
Achja....
$ =(9-t)-2 [mm] \cdot [/mm] ( 12-5t) $
$ =9-t-24-10t $
$ =-15-11t $
$ =(1+t) [mm] \cdot [/mm] (-15-11t) $
$ [mm] =-15t-26t-11t^2 [/mm] $
Aber das kann ja ebenfall nicht stimmen. Auch hier werden die Zahlen wieder Krum und schief...
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:12 Fr 16.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
> Achja....
>
> [mm]=(9-t)-2 \cdot ( 12-5t)[/mm]
> [mm]=9-t-24-10t[/mm]
Der Übergang zwischen diesen beiden Zeilen ist falsch. Du musst das Minus auf die gesammte Klammer anwenden:
[mm] $(9-t)-2\cdot(12-5t) [/mm] = [mm] 9-t-24\red{+}10t$
[/mm]
Viele Grüße,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Fr 16.09.2011 | | Autor: | Haiza |
Gleich gebe ich es auf. Das ändert wieder einiges, aber trotzdem wird es krum und schief das Ergebnis.
$ =9-t-24+10t $
$ =(1+t) [mm] \cdot [/mm] (9t-15) $
$ [mm] =9t-15+9t^2-15t [/mm] $
$ [mm] =9t^2-6t+15 [/mm] $
Weiß jemand noch Rat?
Gruß und Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:34 Fr 16.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
> Weiß jemand noch Rat?
Keinen, der nicht unhöflich klingt, aber besser jetzt als zu spät: Geh nochmal genau die Grundrechenarten durch und wie man Gleichungsketten formuliert. (Das ist nicht böse gemeint, ehrlich!)
Das geht wüst durcheinander bei Dir, klar, dass Du durcheinander kommst.
Zunächst einmal ist die erste Zeile Deiner Gleichung in Bezug auf die Determinante der 3x3 Untermatrix, während die zweite Zeile in Bezug auf die Determinante der gesammten Matrix ist. Dann ist natürlich $t-10t = [mm] \red{-}9t$.
[/mm]
[mm] ([i]\red{/e}[/i] [/mm] Der letzte Einwand ist irrelevant, da $-t+10t = 9t$ ist.)
Ja, es kommen krumme Zahlen raus, das passiert manchmal. Aber eventuell hast Du die Matrix falsch aufgeschrieben?
Viele Grüße,
AT-Colt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Fr 16.09.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn man das produkt aus 2 linearen Termen=0 erst ausmult. ist das recht umständlich. verwende: produkt =0 heisst faktoren = 0
gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Fr 16.09.2011 | | Autor: | AT-Colt |
Ok, da Dein Rechenweg mittlerweile richtig ist, gehe ich nochmal den Lösungsweg durch und zeige Dir, dass wirklich (etwas) krumme Zahlen rauskommen, sofern die Matrix so wirklich richtig ist.
[mm]0 \stackrel{\red{!}}{=} \det\pmat{ 1+t & 0 & 0 & 0 \\
\pi & 1 & 4 & 5 \\
4 & 2 & 3 & 1 \\
2 & 0 & t & 3 } = (1+t)\cdot\det\pmat{ 1 & 4 & 5 \\
2 & 3 & 1 \\
0 & t & 3 } = (1+t)\cdot\left(1\cdot\det\pmat{ 3 & 1 \\
t & 3 } - 2\cdot\det\pmat{ 4 & 5 \\
t & 3 }\right) = (1+t)\cdot(9-t-24+10t) = (1+t)\cdot(9t-15)[/mm]
Jetzt gibt es zwei Möglickeiten: Entweder man multipliziert den letzten Ausdruck aus und verwendet die pq-Formel (was nur bei quadratischen Gleichungen geht), oder man besinnt sich darauf, dass ein Produkt genau dann 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Letzteres funktioniert immer, sobald Du den Ausdruck faktorisiert hast.
Du erhälst also:
[mm]1+t = 0 \rightarrow t = -1[/mm] sowie
[mm]9t-15 = 0 \rightarrow t = 5/3[/mm] als mögliche Lösungen für t.
Viele Grüße,
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:13 Sa 17.09.2011 | | Autor: | Haiza |
Danke! 
Und ich habe gestern und heute noch einige Male die Aufgabe gerechnet und dachte immer wieder "wieso ist das falsch" weil in einer der Antworten stand, dass das immer noch falsch ist.
Jetzt sehe ich erst die Antwort, dass die Rechnung doch korrekt ist.
Ob die Matrix so richtig ist oder nicht, kann ich auch nicht 100%ig beurteilen, aber wichtig ist ja, dass ich den Rechenweg kann.
Danke an alle für eure Hilfe!
Gruß
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