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Forum "Determinanten" - Determinante 4x4 Matrix
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Determinante 4x4 Matrix: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:59 Mi 19.10.2011
Autor: unibasel

Guten Morgen:)

Die Frage ist: Man berechne die Determinante der folgenden Matrix mittels rekursiver Definition (sukzessive Entwicklung nach Zeilen oder Spalten).

A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 5 & 2 & 0 & 0 \\ 8 & 6 & 3 & 0 \\ 0 & 9 & 7 & 4 } [/mm]

Da ich leider noch nicht so viel Ahnung besitze und ich mit dem Studium erst vor kurzem angefangen habe, weiss ich nicht, ob es richtig ist, was ich gerechnet habe:

Nach 2. Zeile entwickelt:

[mm] 5*\vmat{ 0 & -1 & 1 \\ 6 & 3 & 0 \\ 9 & 7 & 4 } [/mm] - [mm] 2*\vmat{ 1 & -1 & 1 \\ 8 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & 4 } [/mm] + [mm] 0*\vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 8 & 6 & 0 \\ 0 & 9 & 4 } [/mm] - [mm] 0*\vmat{ 1 & 0 & -1 \\ 8 & 6 & 3 \\ 0 & 9 & 7 } [/mm]

det(A1) = (0*3*4)+(-1*0*0)+(1*0*7)-(9*3*1)-(7*0*0)-(4*6*1)=-51

det(A2) = (1*3*4)+(-1*0*0)+(1*8*7)-(0*3*1)-(7*0*1)-(4*8*-1)=100

det(A3) und det(A4) können ignoriert werden, da Multiplikation mit 0.

Das heisst det(A) = 5*(-51) - 2*(100) = - 455

Stimmt aber vorne und hinten nicht, da die Lösung 5 ergeben muss.

Darf ich das überhaupt so rechnen? Oder muss ich es auf Dreiecksform bringen? Habe ein ziemliches Durcheinander. Wie könnte ich es denn anders rechnen?

Vielen Dank schon im Voraus.
lg unibas:)

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Determinante 4x4 Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:16 Mi 19.10.2011
Autor: reverend

Hallo unibasel, [willkommenmr]

> Die Frage ist: Man berechne die Determinante der folgenden
> Matrix mittels rekursiver Definition (sukzessive
> Entwicklung nach Zeilen oder Spalten).
>  
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 5 & 2 & 0 & 0 \\ 8 & 6 & 3 & 0 \\ 0 & 9 & 7 & 4 }[/mm]
>  
> Da ich leider noch nicht so viel Ahnung besitze und ich mit
> dem Studium erst vor kurzem angefangen habe, weiss ich
> nicht, ob es richtig ist, was ich gerechnet habe:
>  
> Nach 2. Zeile entwickelt:
>  
> [mm]5*\vmat{ 0 & -1 & 1 \\ 6 & 3 & 0 \\ 9 & 7 & 4 }[/mm] - [mm]2*\vmat{ 1 & -1 & 1 \\ 8 & 3 & 0 \\ 0 & 7 & 4 }[/mm] + [mm]0*\vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 8 & 6 & 0 \\ 0 & 9 & 4 }[/mm] - [mm]0*\vmat{ 1 & 0 & -1 \\ 8 & 6 & 3 \\ 0 & 9 & 7 }[/mm]

Fast gut. Wenn Du alles mit -1 multiplizierst, wird es richtig. Schau Dir nochmal die Vorzeichen bei der Entwicklung nach einer Zeile oder Spalte an ([]Laplacescher Entwicklungssatz).

> det(A1) =
> [mm] (0*3*4)+(-1*0*\red{0})+(1*\red{0}*7)-(9*3*1)-(7*0*0)-(4*6*\red{1})=-51 [/mm]

Die rot markierten Zahlen stimmen nicht und daher das Ergebnis auch nicht.

> det(A2) =
> (1*3*4)+(-1*0*0)+(1*8*7)-(0*3*1)-(7*0*1)-(4*8*-1)=100

[ok]

> det(A3) und det(A4) können ignoriert werden, da
> Multiplikation mit 0.

[ok]

> Das heisst det(A) = 5*(-51) - 2*(100) = - 455
>  
> Stimmt aber vorne und hinten nicht, da die Lösung 5
> ergeben muss.

Richtig. Mit den Korrekturen oben sollte das aber auch klappen.

> Darf ich das überhaupt so rechnen? Oder muss ich es auf
> Dreiecksform bringen?

Nein, das ist völlig ok so.

> Habe ein ziemliches Durcheinander.
> Wie könnte ich es denn anders rechnen?

Du könntest und solltest der Anweisung der Aufgabe folgen und auch die [mm]3\times{3}[/mm]-Matrizen nicht nach der Regel von Sarrus, sondern ebenfalls nach Laplace berechnen!

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
Determinante 4x4 Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:08 Mi 26.10.2011
Autor: unibasel

Vielen herzlichen Dank für die Hilfe ;)
Bezug
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