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| Aufgabe | Berechnen Sie für [mm] n\in\IN\backslash\{0\} [/mm] die Determinante der Matrix:
[mm] A_{n}=\pmat{ 0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \ddots & & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 & 0 \\ \vdots & & \ddots & 1 & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & 0 } [/mm] |
Also der Prof hat gemeint, dass kan man mit Indukion machen...aber ich hab keine Ahnung, wie ich das machen soll...hat jemand ne Idee??
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Hallo, es handelt sich um eine quadratische Matrix, beginne mit der Determinante einer 2x2 dann 3x3 dann 4x4 Matrix, Ziel ist es, eine Gesetzmäßigkeit zu erkennen, um dann in die vollständige Induktion zu gehen, Steffi
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Ok, ich hab jetzt rausbekommen, dass gilt:
det A = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } \bruch{n+1}{2} \in \IN \\ -1, & \mbox{für } \bruch{2+n}{4} \in \IN \\ 1, & \mbox{für } \bruch{n}{4} \in \IN \end{cases}
[/mm]
Aber wie fang ich jetzt die Indukion an???
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Kann mir da keiner helfen? Irgendwie steh ich da voll auf dem Schlauch....
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:08 Di 29.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
guck' mal hier. Da steht zum einen eine schöne Formel, die Du induktiv beweisen kannst, und ich habe quasi schonmal an einem Beispiel das Schema des Beweises vorgegeben 
P.S.:
1.) [mm] $\frac{n+1}{2} \in \IN_0$ $\gdw$ [/mm] $n$ ungerade
2.) [mm] $-1=(-1)^\frac{n}{2}$ $\gdw$ $\frac{n}{2}$ [/mm] ungerade [mm] $\gdw$ $\frac{n}{2}=2*k+1$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN_0$ [/mm]
[mm] $\gdw$ $\black{n=4k+2}$ $\gdw$ $\black{n+2=4k+4}$ $\gdw$ $\frac{n+2}{4} \in \IN_0$
[/mm]
3.) [mm] $1=(-1)^\frac{n}{2}$ $\gdw$ $\frac{n}{2}$ [/mm] gerade [mm] $\gdw$ $\frac{n}{2}=2*k$ [/mm] mit einem $k [mm] \in \IN_0$ $\gdw$ [/mm] $n=4k$ [mm] $\gdw$ $\frac{n}{4} \in \IN_0$
[/mm]
Das ganze hat nur den Sinn, damit Du einsiehst, dass Dein Ergebnis für [mm] $\det(A)$ [/mm] vollkommen im Einklang mit der Formel aus obigem Link steht (siehe dort die Ausgangsfrage).
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:07 Di 29.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Berechnen Sie für [mm]n\in\IN\backslash\{0\}[/mm] die Determinante
> der Matrix:
>
> [mm]A_{n}=\pmat{ 0 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 1 & \ddots & & 0 \\ 0 & 1 & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 1 & 0 \\ \vdots & & \ddots & 1 & 0 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & 1 & 0 }[/mm]
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> Also der Prof hat gemeint, dass kan man mit Indukion
> machen...aber ich hab keine Ahnung, wie ich das machen
> soll...hat jemand ne Idee??
Genau diese Frage hatten wir schon einmal (und ich war an der Diskussion beteiligt). Kannst ja mal danach suchen...
LG Felix
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