Det(A+B) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 01:09 Sa 10.03.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | | Gib zwei Matrizen A und B an, für die det(A+B) [mm] \not= [/mm] det(A) + det(B) |
Hallo ihr lieben.
Wie kann man das Beispiel theoretischer angehen, als sich irgendwelche Matrizen herzunehmen und auszuprobieren?
Dann hab ich noch eine Frage, wollte aber keinen extra-thread aufmachen.
Wie finde ich eine multilineare Abbildung [mm] \delta: M_{ 2 \times 2} (\IZ_2) [/mm] -> [mm] \IZ_2, [/mm] die beim vertauschen zweier Spalten das Vorzeichen wechselt, aber wenn zwei Spalten von A gleich sind NICHT auf 0 abbildet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Sa 10.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo,
> Gib zwei Matrizen A und B an, für die det(A+B) [mm]\not=[/mm]
> det(A) + det(B)
>
> Hallo ihr lieben.
> Wie kann man das Beispiel theoretischer angehen, als sich
> irgendwelche Matrizen herzunehmen und auszuprobieren?
wähle einfach [mm]A=B=\pmat{ 1 & 0 \\
0 & 1 } [/mm].
Gruß
barsch
> Dann hab ich noch eine Frage, wollte aber keinen
> extra-thread aufmachen.
> Wie finde ich eine multilineare Abbildung [mm]\delta: M_{ 2 \times 2} (\IZ_2)[/mm]
> -> [mm]\IZ_2,[/mm] die beim vertauschen zweier Spalten das
> Vorzeichen wechselt, aber wenn zwei Spalten von A gleich
> sind NICHT auf 0 abbildet?
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> Gib zwei Matrizen A und B an, für die det(A+B) [mm]\not=[/mm]
> det(A) + det(B)
>
> Hallo ihr lieben.
> Wie kann man das Beispiel theoretischer angehen, als sich
> irgendwelche Matrizen herzunehmen und auszuprobieren?
Die Gleichung ist doch bestimmt im Allgemeinen falsch,
also wohl auch in fast jedem zufällig herausgegriffenen
Beispiel.
Wenn du einen "theoretischeren" (aber vielleicht auch
deutlich mühsameren) Weg suchst, so versuche doch
eher etwa die Frage zu beantworten:
| Aufgabe | Für welche Paare (A,B) von Matrizen aus [mm] M_{ 2 \times 2} (\IZ)
[/mm]
gilt die Gleichung det(A+B)=det(A)+det(B) ? |
Das könnte allerdings etwas schwierig werden, da man
sich da zunächst mal mit 8 Variablen herumschlagen
muss ...
> Dann hab ich noch eine Frage, wollte aber keinen
> extra-thread aufmachen.
> Wie finde ich eine multilineare Abbildung [mm]\delta: M_{ 2 \times 2} (\IZ_2)[/mm]
> -> [mm]\IZ_2,[/mm] die beim vertauschen zweier Spalten das
> Vorzeichen wechselt, aber wenn zwei Spalten von A gleich
> sind NICHT auf 0 abbildet?
Da ist mir nicht so recht klar, was denn eigentlich mit
dem "Vorzeichenwechsel" gemeint sein soll, denn in
[mm] \IZ_2 [/mm] gilt ja für alle x die Gleichung -x=x !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:10 So 11.03.2012 | | Autor: | felixf |
Moin Al,
> > Gib zwei Matrizen A und B an, für die det(A+B) [mm]\not=[/mm]
> > det(A) + det(B)
> >
> > Hallo ihr lieben.
> > Wie kann man das Beispiel theoretischer angehen, als
> sich
> > irgendwelche Matrizen herzunehmen und auszuprobieren?
>
> Die Gleichung ist doch bestimmt im Allgemeinen falsch,
> also wohl auch in fast jedem zufällig herausgegriffenen
> Beispiel.
die Gleichung gilt genau dann fuer alle Matrizen ueber einem beliebigen kommutativen Ring mit Eins, wenn es sich um $0 [mm] \times [/mm] 0$- oder um $1 [mm] \times [/mm] 1$-Matrizen handelt oder wenn der Ring der Nullring ist.
Man kann fuer $n > 1$ und fuer $R [mm] \neq \{ 0 \}$ [/mm] immer (sehr einfache!) Matrizen $A, B [mm] \in \{ 0, 1 \}^{n \times n} \subseteq R^{n \times n}$ [/mm] angeben mit [mm] $\det(A [/mm] + B) = 1 [mm] \neq [/mm] 0 = [mm] \det(A) [/mm] + [mm] \det(B)$.
[/mm]
(Tipp: Diagonalmatrizen.)
> Da ist mir nicht so recht klar, was denn eigentlich mit
> dem "Vorzeichenwechsel" gemeint sein soll, denn in
> [mm]\IZ_2[/mm] gilt ja für alle x die Gleichung -x=x !
Es koennte natuerlich auch sein, dass mit [mm] $\IZ_2$ [/mm] nicht [mm] $\IZ/2\IZ$, [/mm] sondern die ![[]](/images/popup.gif) 2-adischen ganzehn Zahlen gemeint sind. In dem Fall gilt $x = -x$ nur fuer $x = 0$.
LG Felix
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Hallo Felix,
danke für die Information. Aber über einen Begriff
stolpere ich jetzt doch: was ist eine [mm]0 \times 0[/mm] - Matrix ?
Gruß, Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 So 11.03.2012 | | Autor: | felixf |
Hallo Al,
> danke für die Information. Aber über einen Begriff
> stolpere ich jetzt doch: was ist eine [mm]0 \times 0[/mm] - Matrix
> ?
eine $0 [mm] \times [/mm] 0$-Matrix ist ( ). Und das ist auch die einzige 
Es ist einfach ein praktisches Hilfsobjekt. Die $n [mm] \times [/mm] m$-Matrizen ueber $K$ entsprechen ja bijektiv den $K$-Homomorphismen von einem $m$-dimensionalen in einen $n$-dimensionalen $K$-Vektorraum.
Setzt man $n = m = 0$, so gibt es genau einen solchen Homomorphismus (da 0-dimensionale $K$-Vektorraeume einelementig sind). Dieser sollte moeglichst wieder einer Matrix entsprechen - und diese sollte das Format $0 [mm] \times [/mm] 0$ haben. Und dies zeigt auch, dass es genau eine solche Matrix gibt, da es auch nur einen solchen Homomorphismus gibt.
LG Felix
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| Aufgabe | Suche zwei [mm] 2\times2 [/mm] - Matrizen A und B , deren 8 Elemente
gerade die Menge [mm] \{1,2,3,4,5,6,7,8\} [/mm] ergeben und welche die
Eigenschaft haben, dass
det(A+B) = det(A) + det(B) |
Hallo Lu- ,
du hast mich mit deiner Frage zu einer Zusatzaufgabe
inspiriert, die ich hier für alle Interessierten angebe.
Tipp: die Gleichung für die 8 Variablen, welche sich aus
der Gleichung für die Determinanten ergibt, vereinfacht
sich viel mehr, als ich zunächst erwartet hätte ...
LG Al-Chw.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:29 So 11.03.2012 | | Autor: | barsch |
Hallo Al,
[mm]A=\pmat{ 7 & 8 \\
3 & 6 }, \ \ B=\pmat{ 4 & 5 \\
2 & 1 } [/mm] ist eine Lösung, wenn jetzt kein Zahlendreher drin ist.
Auch, wenn sich die Gleichung starkt vereinfacht, ist am Ende doch ein wenig knobeln nötig, oder nicht ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Ich hatte dann am Ende die Gleichung: [mm]a_2*b_3+a_3*b_2=a_1*b_4+a_4*b_1[/mm]
Gruß
barsch
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> Hallo Al,
>
> [mm]A=\pmat{ 7 & 8 \\
3 & 6 }, \ \ B=\pmat{ 4 & 5 \\
2 & 1 } [/mm]
> ist eine Lösung, wenn jetzt kein Zahlendreher drin ist.
> Auch, wenn sich die Gleichung starkt vereinfacht, ist am
> Ende doch ein wenig knobeln nötig, oder nicht
> Ich hatte dann am Ende die Gleichung:
> [mm]a_2*b_3+a_3*b_2=a_1*b_4+a_4*b_1[/mm]
>
> Gruß
> barsch
Hallo barsch,
genau so ist es. Wer Lust hat, könnte jetzt ja noch
nach allen Lösungen suchen. Ich bin jedenfalls auf
eine andere als du gestoßen:
[mm]A=\pmat{ 6 & 8 \\
2 & 7 }, \ \ B=\pmat{ 4 & 5 \\
3 & 1 } [/mm]
Aus jeder vorliegenden Lösung kann man ohnehin
durch einfache Vertauschungen noch einige weitere
produzieren.
LG Al
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:01 So 11.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Warum kann ich die Antwort zu meiner eigenen Aufgabe nicht lesen?
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> Warum kann ich die Antwort zu meiner eigenen Aufgabe nicht
> lesen?
Hallo Lu- ,
jemand aus dem Kreis der Moderatoren hat die Zusatz-
frage, die ich angehängt habe, offenbar "geschützt",
damit der Spass am Selber-lösen nicht gleich verpufft.
Ich sende dir die verdeckten Antworten mal per PN .
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:37 So 11.03.2012 | | Autor: | barsch |
So, jetzt kannst auch du die Antwort lesen.
Warum du es nicht lesen konntest, hat Al bereits beantwortet.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:05 So 11.03.2012 | | Autor: | barsch |
> Dann hab ich noch eine Frage, wollte aber keinen
> extra-thread aufmachen.
> Wie finde ich eine multilineare Abbildung [mm]\delta: M_{ 2 \times 2} (\IZ_2)[/mm]
> -> [mm]\IZ_2,[/mm] die beim vertauschen zweier Spalten das
> Vorzeichen wechselt, aber wenn zwei Spalten von A gleich
> sind NICHT auf 0 abbildet?
siehe hier.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:06 So 11.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Ja, ich habe sie nochmal in einen anderen thread geschrieben, weil sie hier unter ging. Und jetzt hoffe ich auf hier oder im anderen Thread eine antwort!
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