Der Satz von Picard-Lindelöf < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Do 18.08.2005 | | Autor: | abadonna |
Hallo Leute!
...bei diesem guten Wetter hoffe ich, dass trotzdem jemand Tipps geben könnte 
Nun habe ich nächste Woche schon Analysis I/III Vordipl.Prüf., und mich quälen ein paar Verständnisfragen, auf die meine schlauen Bücher nicht "einfach" antworten :-(
es geht um den Satz von Picard-Lindelöf...
Erst mal was ich weis:
Also dieser Satz sei wohl der wichtigste in der Theorie der DGL, und die Quelle dessen sei wohl der Banach´scher Fixpunktsatz, erweitert um die Lippschitz-bedingung. Der geht dann so:
Die Fkt. f(t,y) sei stetig auf dem kompakten Rechteck
[mm] I*K:={(t,y):|t-t_0|\le a, |y-y_0|\le b} [/mm] (a,b>0)
und habe dort eine stetige partielle Ableitung y oder schwächer:
sie genüge einer Lippschitz-Bedingung bezügl. y, d.h. es gäbe eine positive Lippschitzkonstante L mit
[mm] |f(t,y)-f(t,z)|\le [/mm] L|y-z|
Dann besitzt das AWP y´=f(t,y), [mm] y(t_0)=y_0
[/mm]
genau eine Lösung auf I y(t), die iterativ gewonnen werden kann:
[mm] y_{j+1}(t)=y_0+ \integral_{t_0}^{t} {f(s,y_j(s)) ds} [/mm] j=0,1,...
So, und nun meine Verständnisfragen:
Ich habe Schwirigkeiten, mir das ganze bildlich vorzustellen, denn unser Prof hat irgendwelche Bildchen dazu gemalt um diesen Satz zu verdeutlichen, aber wie soll man sich [mm] f:RxR^n--->R^n [/mm] vorstellen???
Und dann solche Fragen, wie...
-kann y als Lösung über I hinaus fortgesetzt werden?
-gibt es eine max. fortgesetzte Lösung?
-bleibt Einduetigkeit auch für fortgesetzte Lösungen richtig?
Zu diesen Fragen habe ich sämtliche Sätze gefunden, aber die direkt anzuwenden kann ich irgendwie nicht...
Zum Beispiel habe ich in einem Buch ein Beispiel gefunden:
[mm] y'=1+y^2, [/mm] y(0)=1
Ohne ins Detail zu gehen, steht dort die Antwort: die maximal fortgesetzte Lösung ist y(t)=tan(t) [mm] y:]-\pi [/mm] /2, [mm] \pi [/mm] /2[
Wie zeigt man denn, dass die maximal ist???
...ich weis nicht, ob ich mich deutlich ausgedrückt habe, was mein problem angeht, wäre schön, wenn mir jemand ein Tipp geben kann!
lieben Dank im Voraus
lg
abadonna
Habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Do 18.08.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo abadonna!
Ich denke mit den Skizzen wollte der Prof nur die Lipschitz-Bedingung (Stichwort: Graph lokal in einem Trichter) symbolisieren. Wenn du Genaueres wissen willst, musst du die Skizze einscannen und hier reinstellen.
> Zum Beispiel habe ich in einem Buch ein Beispiel gefunden:
>
> [mm]y'=1+y^2,[/mm] y(0)=1
>
> Ohne ins Detail zu gehen, steht dort die Antwort: die
> maximal fortgesetzte Lösung ist y(t)=tan(t) [mm]y:]-\pi[/mm]
> /2, [mm]\pi[/mm] /2[
>
> Wie zeigt man denn, dass die maximal ist???
Naja, gäbe es eine Fortsetzung der Lösung, so müsste sich ja [mm] $y(t)=\tan(t)$ [/mm] differenzierbar (insbesondere) stetig über eine der beiden Polstellen [mm] $\frac{-\pi}{2}$ [/mm] oder [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] fortsetzen lassen; das geht natürlich nicht. Daher ist die Lösung maximal.
Viele Grüße
Julius
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Hallo Abadonna,
Deine Fragen sind ja sehr allgemein, Du müsstest also im Folgenden genauer angeben, wo Du's ausführlicher brauchst:
Man konstruiert einen Operator T auf den stetig diff.-baren Funktionen
(Ty)(t) := [mm] y_{0} [/mm] + [mm] \integral_{t_{0}}^{t} [/mm] {f(s,y(s)) ds}
also z = T(y) ist wieder stetig diff.-bare Funktion,
und untersucht, wann er kontrahiert. In diesem Gebiet konvergiert er dann für beliebige Startwerte (wenn man nichts besseres hat, dann y(t) = [mm] y_{0}) [/mm] gegen einen eindeutig bestimmbaren Fixpunkt. Hier steckt der Bannachsche Fixpunktsatz drin.
Zur Kontraktion: aus der Lipschitz-Bedingung folgt
||T(z) - T(y)|| < La|z - y|
wenn Du das Integral abschätzt, und deshalb kann L auch beliebig sein: Durch Wahl des Intervalls a um [mm] t_{0} [/mm] kannst Du die Konstante aL < 1 machen, sodass der Banachsatz greift.
Nun ist T gerade so gewählt, dass der Fixpunkt die Lösung der DGL ist (zum Beweis siehe Dein Skript, Du kannst aber auch die Gleichung y = Ty nach t ableiten), wie man auf sowas kommt? Nun ja...
Aber aus dem Procedere kanns Du dir einen Teil Deiner Fragen herleiten:
Du kannst natürlich über das gegebene Intervall hinausgelangen, wenn Du an den Rändern wieder ein Anschlussstück findest auf dem [mm] a_{1}L [/mm] < 1 gilt und Du an der Grenze stetig anstückeln kannst z.B. mit dem Anfangswert [mm] y_{1} [/mm] = [mm] y(t_{0}+a). [/mm] Irgendwann hast Du y auf ein offenes Gebiet ausgedehnt, an dessen Rändern es "ausfranst", d.h. die durch T defienierte Funktionenfolge divergiert. Das passiert bei Deinem Beispiel bei [mm] -\pi/2 [/mm] bzw. [mm] \pi/2. [/mm] Jenseits davon kannst Du nicht mehr stetig anschließen.
Zur Vorstellbarkeit: T ist auf einem unendlichdimensionalen (Banach-) Raum definiert - was Dein Prof. da im [mm] \IR^{n} [/mm] zeichnen will ist mir schleierhaft. Oder sollen die y(t) n-dimensional sein? (Normalerweise beweist man das für Funktionen von [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] wie in Deinem Beispiel).
Den Fixpunktsatz kann man ganz gut illustrieren, wenn man T auf T: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] einschränkt:
Zeichne Dir eine monotone Funktion mit T'(t) < 1 überall, und die Winkelhalbierende y(t) = t, gehe von einem beliebigen Startwert [mm] x_{0} [/mm] hoch zu [mm] T(x_{0}), [/mm] dann waagrecht rüber zur Winkelhalbierenden, von dort wieder sekrecht runter zur Kurve, etc. und Du erhältst ein Spinnennetz, dass sich um den Fixpunkt zuzieht (brauchst Du dazu ein Bild?)
Grüße, Richard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:46 Do 18.08.2005 | | Autor: | abadonna |
hallo!
Wow, vielen Dank für so eine ausführliche Antwort!
Jetzt kann ich auch die Zeichnung aus meinem Skript besser interpretieren, also kann man beliebiges Problem im [mm] \IR* \IR [/mm] geometrisch darstellen, und einfach annehmen für [mm] \IR^n. [/mm]
Beim Anwenden macht mir die n-te Dimension eigentlich nix aus, aber sobald man sich was geometrisch klar machen möchte...
Das mit der maximalen Lösung hab ich jetzt auch (hoffentlich) kapiert, das hat was damit zu tun, ob die Funktion einer globalen oder nur lokalen Lipschitzbedingung genügt
" Irgendwann hast Du y auf ein offenes Gebiet ausgedehnt, an dessen Rändern es "ausfranst", d.h. die durch T defienierte Funktionenfolge divergiert. Das passiert bei Deinem Beispiel bei bzw. Jenseits davon kannst Du nicht mehr stetig anschließen."
---> sowas ähnliches gibt meine Skizze an  ))
Mit dem Fixpunktsatz hatte ich eigentlich gar keine Probleme beim "Verstehen", wahrscheinlich lag es wirklich daran, dass man f auf [mm] \IR [/mm] beschränkt hat.
...es ist immer wieder erstaunlich, dieser AHA-Effekt, als ob einfach die Schranke im verwirrten Kopf aufgeht, und man findet bald den Weg zum Licht...
danke für den Wegweiser
lg
abadonna
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