Degenerierte DGL,Paraboli. DGL < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:57 Di 04.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Nur aus reiner Interesse: Was ist eine Degenerierte DGL genau? Was macht sie aus? Was ist das Problem dabei?
Im Web gibt es nicht sonderlich viel das mir das kurz erklären könnte ohne dass ich 2h lesen muss.
Alles was ich weiss ist folgendes:
Man unterscheidet partielle DGL oft auf Hyperbolisch, Elliptisch oder Parabolisch.
Det = [mm] b^{2} [/mm] - 4*a*c, wobei a der Koeffizient von [mm] u_{xx}, [/mm] b von [mm] u_{yx} [/mm] und c von [mm] u_{yy} [/mm] ist.
Ist die Determinante gleich 0 so ist sie Parabolisch, sofern b*d [mm] \not= [/mm] 2*a*e, wobei d der Koeffizient von [mm] u_{x} [/mm] und e der Koeffizient von [mm] u_{y} [/mm] ist.
Ist also b*d = 2*a*e so nennt man sie degeneriert.
Gruss&Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:58 Di 04.01.2011 | | Autor: | max.p |
Ich kenne den Begriff wie folgt:
Betrachte z.B. eine Diffusionsgleichung [mm]\partial_t u - \nabla\cdot(a(u)\nabla u) = 0[/mm]. Der Koeffizient [mm]a[/mm]ist eine reelwertige Funktion und beschreibt Materialeigenschaften (etwa die Leitfähigkeit). Die Existenz von (schwachen) Lösungen erhält man z.B. durch a priori Abschätzungen von [mm]u[/mm], welche wesentlich auf der Positivität von [mm]a[/mm]beruhen (also [mm]a(.) \geq c > 0[/mm] ).
Im sog. degenerierten Fall erlaubt man auch verschwindende Leitfähigkeit, man hat also nur [mm]a(.) \geq 0[/mm]. Damit hat man im Lösungsraum (der passende ist hier [mm]L^2(0,T; H^1(\Omega))[/mm] )keine a priori Abschätzung mehr und der Nachweis der Existenz von Lösungen ist wesentlich aufwändiger (Stichwort ist hier Regularisierung).
Ein Beispiel für degeneriete Diffusion ist die Ausbreitung von Gasen in porösen Medien.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Di 04.01.2011 | | Autor: | qsxqsx |
Hier kennt sich jemand aus... Danke dir sehr! Vorallem der physikalische Einfluss war hilfreich und was mich interessiert. Was du da mit dem [mm] L^2(0,T; H^1(\Omega)) [/mm] meinst ist mir ehrlich gesagt nicht so einleuchtend. Aber Lösungsraum sagt mir was.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:14 Di 04.01.2011 | | Autor: | max.p |
Bei elliptischen Gleichungen (z.B. der Laplace-Gleichung [mm]\Delta u = 0[/mm]) auf einem Gebiet [mm]\Omega[/mm] gibt es eine umfassende Lösungstheorie (Stichwort schwache Lösungen): der natürliche Raum dafür ist der Sobolev-Raum [mm]H^1(\Omega)[/mm].
Bei zeitabhängigen Gleichungen muss man das Zeitintervall unterbringen, man sucht ja Lösungen im Gebiet [mm]\Omega_T = (0,T)\times\Omega[/mm]. Der passende Raum ist
[mm]L^2(0,T; H^1(\Omega)) := \{ u\in L^2((0,T)\times\Omega) \ | \ \nabla_x u \in L^2((0,T)\times\Omega) \}[/mm],
wobei der Gradient bezüglich der räumlichen Koordinaten gemeint ist.
Man kann die Lösung [mm]u[/mm] statt als Funktion [mm]u: (0,T)\times\Omega\to \IR[/mm] auch als Funktion [mm]u: (0,T)\to L^2(\Omega)[/mm] auffassen (also [mm]u(t) \in L^2(\Omega)[/mm]). [mm]L^2(0,T; H^1(\Omega))[/mm] kann dann als sog. Bochner-Raum interpretiert werden. Das erlaubt eine einheitlich Lösungstheorie für solche zeitabhängigen Gleichungen.
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