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| Aufgabe | Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich in R der folgenden Funktionen:
(i) f(x)= arctan (sqrt((1+x)/(1-x)))
(ii)g(x)= arcsin (1/x) |
Hallo,
ich stehe leider ein wenig auf dem Schlauch, was das Bestimmen des Definitionsbereiches angeht.
Bei f(x) habe ich noch durch die Bedingung: ((1+x)/(1-x))>=0 herausbekommen, dass x>= -1 sein muss, allerdings komm ich einfach nicht auf die obere Grenze.
Bei g(x) weiß ich, dass -1 <= (1/x) <= 1, doch da ist dann auch Schluss.
Freundliche Grüße :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich in R der
> folgenden Funktionen:
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> (i) f(x)= arctan (sqrt((1+x)/(1-x)))
> (ii)g(x)= arcsin (1/x)
> Hallo,
> ich stehe leider ein wenig auf dem Schlauch, was das
> Bestimmen des Definitionsbereiches angeht.
> Bei f(x) habe ich noch durch die Bedingung:
> ((1+x)/(1-x))>=0 herausbekommen, dass x>= -1 sein muss,
> allerdings komm ich einfach nicht auf die obere Grenze.
Du meinst die Funktion f mit
[mm] f(x)=arctan\left(\wurzel{\bruch{1+x}{1-x}}\right)
[/mm]
?
Wie bist du denn auf die [mm] x\ge{-1} [/mm] gekommen? Man muss ja für den Bruch in der Wurzel die zwei Fälle durchspielen, dass a) Zähler und Nenner positiv sowie b) beide negativ sind. Die Lösungsmenge von b) ist leer, der von a) fügt man noch den Fall 1+x=0 hinzu, also haben wir
[mm] 1+x\ge{0}\wedge{1-x}>0\Rightarrow{-1\le{x}<1}
[/mm]
Jetzt musst du dir aber noch klarmachen, weshalb dieser Definitionsbereich mit der Arkustangensfunktion 'verträglich' ist.
> Bei g(x) weiß ich, dass -1 <= (1/x) <= 1, doch da ist
> dann auch Schluss.
Hm, da weißt du doch schon ziemlich viel, denk einfach erst einmal darüber nach, für welche x das gelten kann. Und dann geh ans Aufschreiben der gesuchten Menge.
Gruß, Diophant
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Hallo Diophant,
zunächst einmal danke für die schnelle Hilfe.
Auf die x>=-1 bin ich gekommen, indem ich den Term unter der Wurzel mit der Bedingung, das gerade dieser größer gleich Null sein muss verknüpft.
((1+x)/(1-x)) >= 0 und dann nach x umgestellt.
> Jetzt musst du dir aber noch klarmachen, weshalb dieser
> Definitionsbereich mit der Arkustangensfunktion
> 'verträglich' ist.
Freundliche Grüße
Was meinst du denn mit der Verträglichkeit bezüglich der Arcustangensfunktion? Anders als arcsin und arccos ist der arctan doch auf ganz R definiert oder nicht?
> Hm, da weißt du doch schon ziemlich viel, denk einfach
> erst einmal darüber nach, für welche x das gelten kann.
> Und dann geh ans Aufschreiben der gesuchten Menge.
Das gilt für alle -1<=x<=1, das kann man erkennen, jedoch ist das glaube ich keine eine Antwort, die mein Professor sehen will. Ich wüsste gerne, wie man es mit Ungleichungen beweist.
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> Das gilt für alle -1<=x<=1
Hoppla, da habe ich mich versehen, das soll natürlich
x<= -1 und x>=1 heißen
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Hallo,
> > Das gilt für alle -1<=x<=1
>
> Hoppla, da habe ich mich versehen, das soll natürlich
> x<= -1 und x>=1 heißen
ja, das ist korrekt. Das könnte man dann bspw. noch so schreiben:
[mm] x\in\left(-\infty;-1\right]\cup\left[1;\infty\right)
[/mm]
Gruß, Diophant
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Hallo,
> Hallo Diophant,
>
> zunächst einmal danke für die schnelle Hilfe.
> Auf die x>=-1 bin ich gekommen, indem ich den Term unter
> der Wurzel mit der Bedingung, das gerade dieser größer
> gleich Null sein muss verknüpft.
> ((1+x)/(1-x)) >= 0 und dann nach x umgestellt.
Ja, das ist mir schon klar. Aber die Rechnungen, die du hierzu vorgenommen hast, die möchten wir hier auch sehen! 
> > Jetzt musst du dir aber noch klarmachen, weshalb dieser
> > Definitionsbereich mit der Arkustangensfunktion
> > 'verträglich' ist.
>
> Freundliche Grüße
>
> Was meinst du denn mit der Verträglichkeit bezüglich der
> Arcustangensfunktion? Anders als arcsin und arccos ist der
> arctan doch auf ganz R definiert oder nicht?
>
Genau das meinte ich. Aber meine Kristallkugel hat derzeit eine Macke am USB-Anschluss und funktioniert daher bei der Arbeit hier im Forum nicht richtig. Darum habe ich nicht genau gesehen, ob dir dies klar ist oder nicht. 
> > Hm, da weißt du doch schon ziemlich viel, denk einfach
> > erst einmal darüber nach, für welche x das gelten kann.
> > Und dann geh ans Aufschreiben der gesuchten Menge.
>
>
> Das gilt für alle -1<=x<=1, das kann man erkennen, jedoch
> ist das glaube ich keine eine Antwort, die mein Professor
> sehen will.
Nein, er will es nicht sehen, denn es ist falsch. Und wie schon gesagt: es bringt dir nichts, irgendwelche Rechenautomatismen, die deinem Professor gefallen, blindlings durchzuführen, ohne dir zu überlegen, was du tust. Du könntest bspw.
[mm] u=\bruch{1}{x}
[/mm]
setzen und dann für u die Ungleichung
[mm] |u|\le{1}
[/mm]
lösen, um anschließend zurückzusubstituieren. Oder du löst direkt die Ungleichung
[mm] \left|\bruch{1}{x}\right|\le{1}
[/mm]
nach x auf. Nur wie gesagt, ich würde hier erst meinen Hirnapparat in Gang setzen. Die fragliche Menge kann man ohne Rechnung sofort angeben. Und wenn man danach dann eine Rechnung vornimmt, dann hat dies den großen Vorteil, dass man das Resultat dieser Rechnung schon kennt.
Gruß, Diophant
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> Ja, das ist mir schon klar. Aber die Rechnungen, die du
> hierzu vorgenommen hast, die möchten wir hier auch sehen!
>
Achso, alles klar :P
Ich habe die Ungleichung ((1+x)/(1-x))>= 0 mit (1-x) multipliziert, dann bleibt 1+x >= 0 übrig. Dann 1 subtrahiert. Übrig bleibt x>= -1
> Genau das meinte ich. Aber meine Kristallkugel hat derzeit
> eine Macke am USB-Anschluss und funktioniert daher bei der
> Arbeit hier im Forum nicht richtig. Darum habe ich nicht
> genau gesehen, ob dir dies klar ist oder nicht.
Gut, dann weiß ich bescheid, ab jetzt versuche ich Dinge, die ich verstehe hier reinzuschreiben
> > > Hm, da weißt du doch schon ziemlich viel, denk einfach
> > > erst einmal darüber nach, für welche x das gelten
> kann.
> > > Und dann geh ans Aufschreiben der gesuchten Menge.
> >
> >
> > Das gilt für alle -1<=x<=1, das kann man erkennen,
> jedoch
> > ist das glaube ich keine eine Antwort, die mein
> Professor
> > sehen will.
>
> Nein, er will es nicht sehen, denn es ist falsch. Und wie
> schon gesagt: es bringt dir nichts, irgendwelche
> Rechenautomatismen, die deinem Professor gefallen,
> blindlings durchzuführen, ohne dir zu überlegen, was du
> tust. Du könntest bspw.
>
> [mm]u=\bruch{1}{x}[/mm]
>
> setzen und dann für u die Ungleichung
>
> [mm]|u|\le{1}[/mm]
>
> lösen, um anschließend zurückzusubstituieren. Oder du
> löst direkt die Ungleichung
>
> [mm]\left|\bruch{1}{x}\right|\le{1}[/mm]
>
> nach x auf. Nur wie gesagt, ich würde hier erst meinen
> Hirnapparat in Gang setzen. Die fragliche Menge kann man
> ohne Rechnung sofort angeben. Und wenn man danach dann eine
> Rechnung vornimmt, dann hat dies den großen Vorteil, dass
> man das Resultat dieser Rechnung schon kennt.
>
> Gruß, Diophant
Ich muss also eine Fallunterscheidung machen, wenn ich das richtig verstehe.
Das würde ich dann so machen:
|1/x| = (1/|x|) <= 1
Für x>0:
1/x <= 1
<=> x>=1
Für x<0:
1/-x <= 1
<=> 1<= -x
<=> x<=-1
Wäre das so korrekt?
Freundliche Grüße
P.S Entschuldigung für das doch sehr hässliche Format, ich komme mit den Eingabehilfen noch nicht ganz zurecht.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:46 Mi 08.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Ja, das ist mir schon klar. Aber die Rechnungen, die du
> > hierzu vorgenommen hast, die möchten wir hier auch sehen!
> >
>
> Achso, alles klar :P
>
> Ich habe die Ungleichung ((1+x)/(1-x))>= 0 mit (1-x)
> multipliziert, dann bleibt 1+x >= 0 übrig.
Aber nur im Falle 1-x<0 !!
> Dann 1
> subtrahiert. Übrig bleibt x>= -1
>
> > Genau das meinte ich. Aber meine Kristallkugel hat derzeit
> > eine Macke am USB-Anschluss und funktioniert daher bei der
> > Arbeit hier im Forum nicht richtig. Darum habe ich nicht
> > genau gesehen, ob dir dies klar ist oder nicht.
>
> Gut, dann weiß ich bescheid, ab jetzt versuche ich Dinge,
> die ich verstehe hier reinzuschreiben
>
> > > > Hm, da weißt du doch schon ziemlich viel, denk einfach
> > > > erst einmal darüber nach, für welche x das gelten
> > kann.
> > > > Und dann geh ans Aufschreiben der gesuchten Menge.
> > >
> > >
> > > Das gilt für alle -1<=x<=1, das kann man erkennen,
> > jedoch
> > > ist das glaube ich keine eine Antwort, die mein
> > Professor
> > > sehen will.
> >
> > Nein, er will es nicht sehen, denn es ist falsch. Und wie
> > schon gesagt: es bringt dir nichts, irgendwelche
> > Rechenautomatismen, die deinem Professor gefallen,
> > blindlings durchzuführen, ohne dir zu überlegen, was du
> > tust. Du könntest bspw.
> >
> > [mm]u=\bruch{1}{x}[/mm]
> >
> > setzen und dann für u die Ungleichung
> >
> > [mm]|u|\le{1}[/mm]
> >
> > lösen, um anschließend zurückzusubstituieren. Oder du
> > löst direkt die Ungleichung
> >
> > [mm]\left|\bruch{1}{x}\right|\le{1}[/mm]
> >
> > nach x auf. Nur wie gesagt, ich würde hier erst meinen
> > Hirnapparat in Gang setzen. Die fragliche Menge kann man
> > ohne Rechnung sofort angeben. Und wenn man danach dann eine
> > Rechnung vornimmt, dann hat dies den großen Vorteil, dass
> > man das Resultat dieser Rechnung schon kennt.
> >
> > Gruß, Diophant
>
> Ich muss also eine Fallunterscheidung machen, wenn ich das
> richtig verstehe.
> Das würde ich dann so machen:
>
> |1/x| = (1/|x|) <= 1
>
> Für x>0:
>
> 1/x <= 1
> <=> x>=1
>
> Für x<0:
>
> 1/-x <= 1
> <=> 1<= -x
> <=> x<=-1
>
> Wäre das so korrekt?
ja
FRED
>
> Freundliche Grüße
>
> P.S Entschuldigung für das doch sehr hässliche Format,
> ich komme mit den Eingabehilfen noch nicht ganz zurecht.
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:56 Mi 08.01.2014 | | Autor: | elduderino |
Alles klar, ich denke, ich bekomme es nun zusammen. Danke vielmals euch beiden.
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