Definition der Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:09 Do 20.10.2011 | | Autor: | adwoa |
| Aufgabe | | Zeigen sie mittels der Definition der Konvergenz, dass die Folge [mm] ((-1)^n [/mm] ) [mm] n\in\IN\sub [/mm] , nicht konvergiert |
WIr haben als Tipp bekommen uns die Dreiecksungleichung und den indirekten Beweis anzuschauen...das hilft mir ehrlich gesagt kein Stück weiter mir fehlt einfach der Ansatz...
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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moin adwoa und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
Verrätst du uns mal, wie ihr Konvergenz definiert habt?
Es gibt da einige verschiedene Definitionen, einige Arten die Konvergenz einer Folge zu beweisen oder zu widerlegen, je nachdem welche davon ihr hattet läuft der Beweis anders ab.
Aus dem Tipp schließe ich, dass du es wohl ungefähr so machen sollst:
Angenommen die Folge konvergiert gegen eine Zahl $a [mm] \in \IR$.
[/mm]
Dann gilt: ...
Und dann folgerst du so lange rum, bis du einen Widerspruch hinkriegst. ;)
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:45 Do 20.10.2011 | | Autor: | adwoa |
Zahlenfolge [mm] (a_n) [/mm] knovergiert gegen den Grenzwert [mm] a\in\IR \gdw [/mm]
Für alle epsilon > 0 gibt es N = N (epsolin) Für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt [mm] \left| a_n - a \right| [/mm] < epsilon meinst du das????
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ja, genau, das ist eine mögliche Definition.
Dann nimm also mal an, es gibt einen Grenzwert deiner Folge, nennen wir diesen mal a.
Dann muss gelten:
$| [mm] (-1)^n [/mm] - a| < [mm] \epsilon$ [/mm] für entsprechend große n.
Nun versuche hier ein wenig rumzurechnen, gerne auch mit dem Tipp den du erhalten hast, und daraus einen Widerspruch zu bekommen.
Genauer: Finde ein [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass es kein [mm] $N(\epsilon)$ [/mm] gibt und zeige auch explizit, dass du zu diesem speziellen [mm] $\epsilon$ [/mm] (da kannst du gern eine Zahl nehmen, wenn du eine passende findest) niemals ein [mm] $N(\epsilon)$ [/mm] mit der geforderten Bedingung finden kannst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:22 Do 20.10.2011 | | Autor: | adwoa |
Ok vielen dank ich versuche mal mein glück...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 Fr 21.10.2011 | | Autor: | adwoa |
Ich habe vergessen zu sagen dass in der vorigen Teilaufgabe der Grenzwert nämlich 0,5 steht...
Trotzdem bin ich immer noch nicht auf die Lösung gekommen. Meine Überlegungen bis hierhin:
die Eindeutigkeit des Grenzwertes haben wir definiert mit [mm] \limes_{n \to \infty}a_n [/mm] = a , [mm] \limes_{n \to \infty}a_n [/mm] = b daruas folgt a=b.
Beim indirekten Beweis den ich ja anwenden soll, gehe ich also von a [mm] \ne [/mm] b aus.
in allgemeiner Form sieht der Beweis mittels der Dreiecksungleichung dann so aus: 2 epsilon = [mm] \left| b-a \right| \le \left| a_n-a \right| [/mm] + [mm] \left| a_n - b \right| [/mm] < 2 epsilon , also widerspruch
so lautet die allg. beweisführung die wir notiert haben..mir ist aber nicht klar wie ich das nun auf mein beisspiel anwende...cih setzt für [mm] a_n (-1)^n [/mm] ein und für den einen Grenzwert a = 0,5 ??? und dann...ich habe ja kein b..kann ich das frei wählen?
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Mooooment mal.^^
Die Folge konvergiert nicht, also kannst du auch nicht Eindeutigkeit des Grenzwerts zeigen, denn der existiert ja garnicht.
Also entweder die 0,5 gehört zu einer anderen Aufgabe oder du sollst zeigen, dass die Folge nicht gegen 0,5 konvergiert.
Alternativ könntest du die Annahme eines Grenzwerts auch mit [mm] $\epsilon [/mm] = 0,5$ recht schön widerlegen, vielleicht war ja das gemeint?
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Sa 22.10.2011 | | Autor: | adwoa |
ok mein Fehler die 0,5 gehört nicht zu der teilaufgabe...bin trotzdem noch keinen schritt weiter...hast du einen ansatz mit dem ich weiterrechnen kann?mir ist einfach nicht klar was ich in die dreiecksungleichung einsetzen soll. und wie und wo ich auf ienen widerspruch stoße...
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Nun, überleg dir mal folgendes:
Für jede gerade Zahl n gibt es eine ungerade Zahl, die noch größer ist; und andersrum.
[mm] $(-1)^n [/mm] = 1$ für gerade n und [mm] $(-1)^n [/mm] = -1$ für ungerade n.
Das heißt also deine Folge springt immer zwischen 1 und -1 hin und her, der Abstand der Punkte wird also nie kleiner als 2.
Wenn du jetzt zum Beispiel [mm] $\epsilon [/mm] = 0.5$ nimmst so findest du dann natürlich keinen Grenzwert sodass das passt, denn wenn der Grenzwert weniger als 0.5 von der einen 1 weg ist ist er ja mehr als 1.5 von der anderen weg.
Das musst du jetzt nur noch mathematisch ausdrücken. ;)
MfG
Schadowmaster
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Sa 22.10.2011 | | Autor: | adwoa |
genau das hab ich mir ja auch schon grafisch klar gemacht..ich weiß ja auch was ich beweisen bzw nicht beweisen soll. ich hab ja auch die allg. definition..aber genau die mathematische sprache versteh ich bis jetzt leider nicht.
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