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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:01 So 11.01.2015 | | Autor: | havoc1 |
| Aufgabe | Frage:
Wieso wird die Operatornorm üblicherweise folgendermaßen definiert:
(f sind dabei Operatoren zwischen normieren Räumen, ||.|| sei dabei die zum entsprechenden Raum gehörende Norm)
inf [mm] \{c\ge0 |\forall x\in V : ||f(x)|| \le c*||x|| \} [/mm] = ||f||
wäre nicht auch
min [mm] \{c\ge0 |\forall x\in V : ||f(x)|| \le c*||x|| \} [/mm] = ||f||
genauso korrekt, vorrausgesetzt man vereinbart
min [mm] \{c\ge0 |\forall x\in V : ||f(x)|| \le c*||x|| \} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Falls die Ungleichung nur für [mm] c=\infty [/mm] erfüllt ist? |
Hallo,
zur Frage siehe oben.
Begründung: Das Minimum sollte doch in jedem Fall angenommen werden.
Falls das Minimum zur Menge gehört, wird es angenommen und alles ist gut.
Wäre es nicht so, würde nur ein Infimum existieren. Da dieses dann aber nicht zur Menge gehört, gilt für dieses Infimum dann nicht mehr
||f||*||x|| [mm] \ge [/mm] ||f(x)||
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:26 Mo 12.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Ich nehme an, es sind V und W normierte Räume und f:V [mm] \to [/mm] W linear
Sei
$M:= [mm] \{c\ge0 |\forall x\in V : ||f(x)|| \le c\cdot{}||x|| \} [/mm] $
f heißt beschränkt [mm] \gdw [/mm] M ist nach unten beschränkt. In diesem Fall setzt man
$||f||:= [mm] \inf [/mm] M$
Ist f beschränkt, so muss [mm] $\min [/mm] M$ i.a. nicht existieren.
Edit: das war Unsinn von mir. natürlich ex. [mm] $\min [/mm] M$
Bastle Dir mal ein geeignetes Beispiel.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:45 Mo 12.01.2015 | | Autor: | havoc1 |
Bist du dir ganz sicher, dass dies so ist? Denn die Menge aus der das Infimum gewählt wird ist abgeschlossen und nach unten beschränkt. Ich meinte, dass das Infimum dann immer zur Menge gehört.
Ich werd jetzt mal versuchen ein Gegenbeispiel zu finden.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Mo 12.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bist du dir ganz sicher, dass dies so ist? Denn die Menge
> aus der das Infimum gewählt wird ist abgeschlossen und
> nach unten beschränkt. Ich meinte, dass das Infimum dann
> immer zur Menge gehört.
Du hast recht. Oben habe ich mich vertan.
> Ich werd jetzt mal versuchen ein Gegenbeispiel zu finden.
Das wir Dir nicht gelingen !
FRED
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