Definition Kreis < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 Sa 11.02.2012 | | Autor: | loni2 |
| Aufgabe | Eine Sekante schneidet einen Kreis in
a) zwei Punkten
b) unendlich vielen Punkten
Welche Vorstellungen eines Kreises liegen in jedem Fall vor? |
wie würdet ihr diese Frage beantworten?
Vielen Dank für Rückmeldungen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:49 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Eine Sekante schneidet einen Kreis in
> a) zwei Punkten
> b) unendlich vielen Punkten
> Welche Vorstellungen eines Kreises liegen in jedem Fall
> vor?
> wie würdet ihr diese Frage beantworten?
> Vielen Dank für Rückmeldungen
das sind komische Fragen. Manche Leute sagen, dass ein Kreis die Menge aller Punkte ist, deren Abstand zu einem vorgegebenen, festen Punkt (der entsprechende Kreismittelpunkt) eine konstante echt positive reelle Zahl ist - das wäre mit der mir gegenwärtigen Definition des Begriffes "Kreis" eigentlich das, was ich als Rand eines Kreises (oder Kreisrand) bezeichne. Denn der Begriff "Kreis" heißt bei mir eigentlich "Kreisscheibe", und da gibt es im wesentlichen auch zwei Deutungen: Es gibt offene Kreisscheiben und abgeschlossene.
Wie habt ihr Kreis definiert? Das, was in a) steht, passt zu dem, was ich oben geschrieben habe (Kreis=Kreisrand) - dort würde man aber eine Gerade etwa nicht als Kreis zulassen (manchmal macht man das und spricht von einem "entarteten Kreis").
Was in b) steht, passt zu dem, was ich geschrieben habe, als ich "Kreis=Kreisscheibe" formuliert habe.
Was ist denn der Sinn der Aufgabe/Frage? In welchen Zusammenhang wurde sie gestellt, und wie wurde bei Euch der Begriff "Kreis" eingeführt?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 11.02.2012 | | Autor: | loni2 |
ich finde die Fragen auch anstrengend:
1) Kreislinie
einerseits sagt man: Die Menge aller Punkte P, die von einem festen Punkt M die gleiche Entfernung r haben, bilden einen Kreis, genauer eine Kreislinie mit Mittelpunkt M und dem Radius r.
2) Kreisscheibe
Der Kreis kann aber auch eine Scheibe sein, dann ist der Kreis die Menge aller Punkte der Kreislinie und der Punkte, die sie einschließt.
---> Sind dann die Punkte die auf den Radien liegen im Kreis eingeschlossen?? Sind alle Punkte auf den Radien sozusagen auch alle Punkte im Kreis???
Wenn eine Sekante einen Kreis schneidet in zwei Punkten, dann können das die Punkte auf der Kreislinie sein, oder die Punkte auf der Kreisscheibe.
Verstehe allerdings nicht warum dass unendlich viele Punkte im Kreisinneren sein sollen. Schließlich ist der Kreis ja begrenzt durch die Kreislinie.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:41 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich finde die Fragen auch anstrengend:
>
> 1) Kreislinie
> einerseits sagt man: Die Menge aller Punkte P, die von
> einem festen Punkt M die gleiche Entfernung r haben, bilden
> einen Kreis, genauer eine Kreislinie mit Mittelpunkt M und
> dem Radius r.
in diesem Sinne ist ein Kreis eine Kurve.
> 2) Kreisscheibe
> Der Kreis kann aber auch eine Scheibe sein, dann ist der
> Kreis die Menge aller Punkte der Kreislinie und der Punkte,
> die sie einschließt.
> ---> Sind dann die Punkte die auf den Radien liegen im
> Kreis eingeschlossen?? Sind alle Punkte auf den Radien
> sozusagen auch alle Punkte im Kreis???
Ja! Genau das meint man damit. Genauer gesagt (etwa im [mm] $\IR^2$):
[/mm]
Eine abgeschlossene Kreisscheibe ist die Menge aller Punkte, die zu einem festen Punkt einen Abstand haben, der eine vorgegebene feste, echt positive reelle Zahl niemals echt übertrifft.
Beispiel:
Die abgeschlossene Kreisschreibe des [mm] $\IR^2$ [/mm] um den Punkt $(2,3) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit Radius [mm] $5\,$ [/mm] ist gegeben als
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: \text{ Abstand von }(x,y) \text{ zu }(2,3)\text{ ist } \le 5\}\,.$$ [/mm]
Besser (in euklidischer Metrik):
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2} \;\red{\le}\; 5\}\,.$$ [/mm]
> Wenn eine Sekante einen Kreis schneidet in zwei Punkten,
> dann können das die Punkte auf der Kreislinie sein, oder
> die Punkte auf der Kreisscheibe.
Die Sekante ist erstmal definiert als Verbindungslinie zwischen zwei Punkten der Kreislinie!
Edit, siehe Als Hinweis: Das war die Sehne. Die Sekante ist "eine entsprechende Gerade"!
> Verstehe allerdings nicht warum dass unendlich viele Punkte
> im Kreisinneren sein sollen. Schließlich ist der Kreis ja
> begrenzt durch die Kreislinie.
Ich mache Dir das gleich mal an einem Beispiel klarer, hoffe ich:
Zunächst:
Mit "Kreisinneren" meint man "die offene Kreisscheibe", das ist die Menge aller Punkte, die zu einem festen Punkt einen Abstand haben, der immer echt unterhalb einer vorgegebenen, festen, echt positiv reellen Zahl bleibt.
Beispiel:
Die offene Kreisschreibe des [mm] $\IR^2$ [/mm] um den Punkt $(2,3) [mm] \in \IR^2$ [/mm] mit Radius [mm] $5\,$ [/mm] ist gegeben als
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: \text{ Abstand von }(x,y) \text{ zu }(2,3)\text{ ist } < 5\,\}\,.$$ [/mm]
Besser (in euklidischer Metrik):
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2} \;\red{<}\; 5\}\,.$$ [/mm]
Fassen wir jetzt mal "Kreis=Kreisscheibe" auf, egal, ob offen oder abgeschlossen. Nimm' den offenen Einheitskreis des [mm] $\IR^2:$
[/mm]
[mm] $$B_1((0,0)):=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2} < 1\}\,$$
[/mm]
Der Kreisrand/die Kreislinie ist dann
[mm] $$\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}=1\}\,.$$
[/mm]
Betrachte mal die Sekante gegeben durch die Randpunkte [mm] $(-1,0)\,$ [/mm] und [mm] $(1,0)\,$ [/mm] der Kreislinie. Die Sekante Sehne ist gerade
[mm] $$S=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}=1 \text{ und }y=0\}=\{(x,y) \in \IR^2: y=0 \text{ und }x \in [-1,1]\}\,.$$
[/mm]
Und die Sekante wäre, kurzgesagt: die [mm] "$x\,$-Achse [/mm] = [mm] $\{(x,y) \in \IR^2: y=0\}$".
[/mm]
Dann ist (der folgende Schnitt ist das gleiche, wie wenn man wirklich die Sekante mit der offenen Kreisscheibe schneidet)
$$S [mm] \cap B_1((0,0))=\{(x,y) \in \IR^2: y=0 \text{ und } -1 < x < 1\}\,.$$
[/mm]
Daher ist $S [mm] \cap B_1((0,0))$ [/mm] natürlich eine unendliche Menge. (Beispielsweise ist [mm] $\left\{\Big(\frac{1}{n+1},0\Big) \in \IR^2: n \in \underbrace{\IN}_{= \IN \setminus \{0\}}\right\} \subseteq [/mm] S [mm] \cap B_1((0,0))\,.$)
[/mm]
Anders gesagt: Alle Punkte der Sekante Sehne, abgesehen von den zwei Punkten $(-1,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] und $(1,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] der Kreislinie, gehören auch zu dem Inneren, d.h. der offenen Einheitskreisscheibe - und diese charakterisieren dann den Schnitt "Sekante mit Kreis". Genau so sieht das auch bei anderen Sekanten aus!
Gruß,
Marcel
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> Die Sekante ist erstmal definiert als Verbindungslinie
> zwischen zwei Punkten der Kreislinie! ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Die Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte ist
eine Sehne des Kreises.
> Die offene Kreisschreibe des [mm]\IR^2[/mm] um den Punkt [mm](2,3) \in \IR^2[/mm]
> mit Radius [mm]5\,[/mm] ist gegeben als
> [mm]\{(x,y) \in \IR^2: \text{ Abstand von }(x,y) \text{ zu }(2,\red{2})\text{ ist } < 5\,\}\,.[/mm]
Punkt (2,3) anstatt (2,2) !
> Besser (in euklidischer Metrik):
> [mm]\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2} \;\red{<}\; 5\}\,.[/mm]
>
>
> Fassen wir jetzt mal "Kreis=Kreisscheibe" auf, egal, ob
> offen oder abgeschlossen. Nimm' den offenen Einheitskreis
> des [mm]\IR^2:[/mm]
> [mm]B_1((0,0)):=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2} < 1\}\,[/mm]
> Der
> Kreisrand/die Kreislinie ist dann
> [mm]\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}=1\}\,.[/mm]
>
> Betrachte mal die Sekante gegeben durch die Randpunkte
> [mm](-1,0)\,[/mm] und [mm](0,1)\,[/mm] der Kreislinie. Die Sekante ist
> gerade
> [mm]S=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}=1 \text{ und }y=0\}=\{(x,y) \in \IR^2: y=0 \text{ und }x \in [-1,1]\}\,.[/mm]
da hast du wohl als zweiten Kreispunkt (1,0) gemeint, und nicht (0,1) ...
> Dann ist
> [mm]S \cap B_1((0,0))=\{(x,y) \in \IR^2: y=0 \text{ und } -1 < x < 1\}\,.[/mm]
>
> Daher ist [mm]S \cap B_1((0,0))[/mm] natürlich eine unendliche
> Menge. (Beispielsweise ist [mm]\left\{\Big(\frac{1}{n+1},0\Big) \in \IR^2: n \in \underbrace{\IN}_{= \IN \setminus \{0\}}\right\} \subseteq S \cap B_1((0,0))\,.[/mm])
>
> Anders gesagt: Alle Punkte der Sekante, abgesehen von den
> zwei Punkten [mm](-1,0) \in \IR^2[/mm] und [mm](1,0) \in \IR^2[/mm] der
> Kreislinie, gehören auch zu dem Inneren, d.h. der offenen
> Einheitskreisscheibe. Genau so sieht das auch bei anderen
> Sekanten aus!
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
ich denke, dass du da doch ein paar Dinge durcheinander
gebracht hast.
1.) eine Sekante ist nicht nur ein endlicher Strecken-
abschnitt, sondern eine (beidseitig unbegrenzte) Gerade
2.) im Beispiel nimmst du einmal die beiden Punkte (-1,0)
und (0,1) und wechselst dann aber plötzlich zum
Paar der Punkte (-1,0) und (1,0)
LG Al
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:03 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Die Sekante ist erstmal definiert als Verbindungslinie
> > zwischen zwei Punkten der Kreislinie!
>
> Die Verbindungsstrecke zweier Kreispunkte ist
> eine Sehne des Kreises.
>
>
> > Die offene Kreisschreibe des [mm]\IR^2[/mm] um den Punkt [mm](2,3) \in \IR^2[/mm]
> > mit Radius [mm]5\,[/mm] ist gegeben als
> > [mm]\{(x,y) \in \IR^2: \text{ Abstand von }(x,y) \text{ zu }(2,\red{2})\text{ ist } < 5\,\}\,.[/mm]
>
> Punkt (2,3) anstatt (2,2) !
>
> > Besser (in euklidischer Metrik):
> > [mm]\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{(x-2)^2+(y-3)^2} \;\red{<}\; 5\}\,.[/mm]
> >
> >
> > Fassen wir jetzt mal "Kreis=Kreisscheibe" auf, egal, ob
> > offen oder abgeschlossen. Nimm' den offenen Einheitskreis
> > des [mm]\IR^2:[/mm]
> > [mm]B_1((0,0)):=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2} < 1\}\,[/mm]
>
> > Der
> > Kreisrand/die Kreislinie ist dann
> > [mm]\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}=1\}\,.[/mm]
> >
> > Betrachte mal die Sekante gegeben durch die Randpunkte
> > [mm](-1,0)\,[/mm] und [mm](0,1)\,[/mm] der Kreislinie. Die Sekante ist
> > gerade
> > [mm]S=\{(x,y) \in \IR^2: \sqrt{x^2+y^2}=1 \text{ und }y=0\}=\{(x,y) \in \IR^2: y=0 \text{ und }x \in [-1,1]\}\,.[/mm]
>
>
> da hast du wohl als zweiten Kreispunkt (1,0) gemeint, und
> nicht (0,1) ...
richtig, habe ich eben korrigiert (sorry, ich poste oft schneller mal und lese das noch ein paar mal, entsprechend wird das nachträglich korrigiert, was ein wenig dauert).
> > Dann ist
> > [mm]S \cap B_1((0,0))=\{(x,y) \in \IR^2: y=0 \text{ und } -1 < x < 1\}\,.[/mm]
>
> >
> > Daher ist [mm]S \cap B_1((0,0))[/mm] natürlich eine unendliche
> > Menge. (Beispielsweise ist [mm]\left\{\Big(\frac{1}{n+1},0\Big) \in \IR^2: n \in \underbrace{\IN}_{= \IN \setminus \{0\}}\right\} \subseteq S \cap B_1((0,0))\,.[/mm])
>
> >
> > Anders gesagt: Alle Punkte der Sekante, abgesehen von den
> > zwei Punkten [mm](-1,0) \in \IR^2[/mm] und [mm](1,0) \in \IR^2[/mm] der
> > Kreislinie, gehören auch zu dem Inneren, d.h. der offenen
> > Einheitskreisscheibe. Genau so sieht das auch bei anderen
> > Sekanten aus!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Hallo Marcel,
>
> ich denke, dass du da doch ein paar Dinge durcheinander
> gebracht hast.
Die meisten sollten zwischenzeitlich behoben sein. Kannst Du nochmal drübergucken?
> 1.) eine Sekante ist nicht nur ein endlicher Strecken-
> abschnitt, sondern eine (beidseitig unbegrenzte)
> Gerade
Das hatte ich aber in der Schule anders gelernt. Okay, ich müßte jetzt in einem Geometriebuch nachgucken. Aber wie dem auch sei: Das wesentliche bleibt dennoch in meiner Antwort enthalten (der Teil der Geraden, die in der offenen Kreisscheibe liegt, enthält (wenn man vielleicht von Sonderfällen absieht) unendlich viele Punkte).
> 2.) im Beispiel nimmst du einmal die beiden Punkte (-1,0)
> und (0,1) und wechselst dann aber plötzlich zum
> Paar der Punkte (-1,0) und (1,0)
Dass das ein Verschreiber war, sollte der mitdenkende Leser merken. Ergo: Du denkst mit 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 So 12.02.2012 | | Autor: | loni2 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hmm also mir ist das immer noch unklar,
ihr sagtet erstens:
Die Aufgabe stellt die Frage nach welcher Definition man vorgeht: Kreisscheibe oder Kreislinie
also das Kreisinnere (= die Kreisscheibe) definiert man :
als k (M,r):= {x|MX <r}
mit dieser Definition meint man aber auch allgemein die offene Kreisscheibe, also die Menge aller Punkte, die zu einem festen Punkt einen Abstand haben
Wenn aber der Punkt P(2/3) und r= 5 gegeben ist, dann handelt es sich um eine abgeschlossene Scheibe, die r= 5 nicht überschreitet.
Die Kreislinie wäre definiert als k(M,r):={x|Mx =r) , damit meint man, dass alle Punkte mit dem Abstand r zu M die Kreislinie bilden.
Das Kreisäußere definiert man als k(M,r):= {x|MX>r}
Zweitens:
Die Sekante ist eine Gerade und hat deshalb unendlich viele Punkte, falls k (M,r) eine offene Kreisscheibe ist und es gilt: k(M,r):= {x|Mx < r} dann haben die Sekante und der Kreis unendlich viele Punkte, oder ????
Falls k aber nur die Kreislinie meint, mit k (M,r):= {x|Mx = r} dann schneidet die Sekante bei vorgegebenen Radius, den Kreis in zwei Punkten, was wiederum die Begrenzungspunkte der Kreissehne wären, weil die Sehne eine Teilmenge der Sekante ist.
Stimmt das so??? Habe echt Probleme mir das mathematisch vorzustellen.
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Hallo,
Du solltest vielleicht mal etwas über Deinen mathematischen Hintergrund verraten.
Du postest ja im Forum Kl.8-10, und falls Du auch Schüler dieser Klassenstufe bist, dann verlangt man nicht mehr von Dir, als daß Du erkennst, daß man landläufig mit "Kreis" zweierlei Vorstellungen verbindet: einerseits die Kreislinie und andererseits die Kreisscheibe.
Wenn man mit "Kreis" die Kreislinie meinst, schneidet die Sekante in genau zwei Punkten,
meint man die Kreisscheibe, dann sind es unendlich viele Punkte, die die Sekante und der Kreis geminsam haben.
Du brauchst in diesem Zusammenhang nicht über offene und abgeschlossene Kreisscheiben nachzudenken.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 So 12.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
ich mache es nun auch mal kurz:
1. Fall:
Kreis=Kreisscheibe: Zeichne einen Kreis (also erstmal eine Kreislinie, mit dem Zirkel). Schraffier' ihn voll aus (also die Fläche, die diese Linie "umschließt"): Alles schraffierte (gegebenenfalls mit oder ohne die Kreislinie) ist nun der Kreis.
Markiere Dir zwei (echt verschiedene) Punkte der Kreislinie und lege eine Gerade durch diese. Was ist der Schnitt dieser Geraden mit dem Kreis? (Tipp: Jedenfalls kann man nun mit dem Wort "Sehne" arbeiten!)
2. Fall:
Kreis=Kreislinie. Zeichne einen Kreis (also die Kreislinie wieder mit dem Zirkel). Nur die Kreislinie ist "der Kreis". Wenn Du nun zwei verschiede Punkte auf der Kreislinie hernimmst, und dadurch eine Gerade festlegst: Wo schneidet sie denn den "Kreis=Kreislinie"?
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > Eine Sekante schneidet einen Kreis in
> > a) zwei Punkten
> > b) unendlich vielen Punkten
> > Welche Vorstellungen eines Kreises liegen in jedem Fall
> > vor?
> > wie würdet ihr diese Frage beantworten?
> > Vielen Dank für Rückmeldungen
>
> das sind komische Fragen. Manche Leute sagen, dass ein
> Kreis die Menge aller Punkte ist, deren Abstand zu einem
> vorgegebenen, festen Punkt (der entsprechende
> Kreismittelpunkt) eine konstante echt positive reelle Zahl
> ist - das wäre mit der mir gegenwärtigen Definition des
> Begriffes "Kreis" eigentlich das, was ich als Rand eines
> Kreises (oder Kreisrand) bezeichne. Denn der Begriff
> "Kreis" heißt bei mir eigentlich "Kreisscheibe", und da
> gibt es im wesentlichen auch zwei Deutungen: Es gibt offene
> Kreisscheiben und abgeschlossene.
>
> Wie habt ihr Kreis definiert? Das, was in a) steht, passt
> zu dem, was ich oben geschrieben habe (Kreis=Kreisrand) -
> dort würde man aber eine Gerade etwa nicht als Kreis
> zulassen (manchmal macht man das und spricht von einem
> "entarteten Kreis").
> Was in b) steht, passt zu dem, was ich geschrieben habe,
> als ich "Kreis=Kreisscheibe" formuliert habe.
>
> Was ist denn der Sinn der Aufgabe/Frage? In welchen
> Zusammenhang wurde sie gestellt, und wie wurde bei Euch der
> Begriff "Kreis" eingeführt?
>
> Gruß,
> Marcel
Hallo Marcel,
die übliche Betrachtungsweise ist wohl schon die, dass der
Kreis die Menge der Punkte der Ebene ist, welche von einem
gegebenen Punkt M der Ebene den Abstand r (mit r>0) haben.
In diesem Sinne ist es dann allerdings unsinnig, etwa zu sagen,
der Flächeninhalt des Kreises sei gleich [mm] \pi*r^2 [/mm] ! Richtig wäre dann,
dass der Flächeninhalt des Kreises gleich 0 ist.
In diesem Sinne finde ich die vorliegende Frage eigentlich
doch sehr sinnvoll. Ich bin mir ziemlich sicher, dass der
Hinweis auf die Problematik der Vermischung der Begriffe
Kreis (linie) und Kreisscheibe auch für manche (unterrichtenden
und angehenden) Lehrkräfte wirklich nützlich wäre.
Dieselben Unterscheidungen zwischen Randlinie und Flächen-
stück wären natürlich ebenso etwa bei Dreiecken und
anderen Vielecken jeweils klar zu deklarieren und ebenso
bei geschlossenen Flächen und den von ihnen berandeten
Körpern (Würfel, Vollkugel etc.) im [mm] \IR^3 [/mm] .
LG Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:51 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> > Hallo,
> >
> > > Eine Sekante schneidet einen Kreis in
> > > a) zwei Punkten
> > > b) unendlich vielen Punkten
> > > Welche Vorstellungen eines Kreises liegen in jedem
> Fall
> > > vor?
> > > wie würdet ihr diese Frage beantworten?
> > > Vielen Dank für Rückmeldungen
> >
> > das sind komische Fragen. Manche Leute sagen, dass ein
> > Kreis die Menge aller Punkte ist, deren Abstand zu einem
> > vorgegebenen, festen Punkt (der entsprechende
> > Kreismittelpunkt) eine konstante echt positive reelle Zahl
> > ist - das wäre mit der mir gegenwärtigen Definition des
> > Begriffes "Kreis" eigentlich das, was ich als Rand eines
> > Kreises (oder Kreisrand) bezeichne. Denn der Begriff
> > "Kreis" heißt bei mir eigentlich "Kreisscheibe", und da
> > gibt es im wesentlichen auch zwei Deutungen: Es gibt offene
> > Kreisscheiben und abgeschlossene.
> >
> > Wie habt ihr Kreis definiert? Das, was in a) steht, passt
> > zu dem, was ich oben geschrieben habe (Kreis=Kreisrand) -
> > dort würde man aber eine Gerade etwa nicht als Kreis
> > zulassen (manchmal macht man das und spricht von einem
> > "entarteten Kreis").
> > Was in b) steht, passt zu dem, was ich geschrieben
> habe,
> > als ich "Kreis=Kreisscheibe" formuliert habe.
> >
> > Was ist denn der Sinn der Aufgabe/Frage? In welchen
> > Zusammenhang wurde sie gestellt, und wie wurde bei Euch der
> > Begriff "Kreis" eingeführt?
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Hallo Marcel,
>
> die übliche Betrachtungsweise ist wohl schon die, dass der
> Kreis die Menge der Punkte der Ebene ist, welche von einem
> gegebenen Punkt M der Ebene den Abstand r (mit r>0)
> haben.
> In diesem Sinne ist es dann allerdings unsinnig, etwa zu
> sagen,
> der Flächeninhalt des Kreises sei gleich [mm]\pi*r^2[/mm] !
> Richtig wäre dann,
> dass der Flächeninhalt des Kreises gleich 0 ist.
>
> In diesem Sinne finde ich die vorliegende Frage eigentlich
> doch sehr sinnvoll. Ich bin mir ziemlich sicher, dass der
> Hinweis auf die Problematik der Vermischung der Begriffe
> Kreis (linie) und Kreisscheibe auch für manche
> (unterrichtenden
> und angehenden) Lehrkräfte wirklich nützlich wäre.
> Dieselben Unterscheidungen zwischen Randlinie und
> Flächen-
> stück wären natürlich ebenso etwa bei Dreiecken und
> anderen Vielecken jeweils klar zu deklarieren und ebenso
> bei geschlossenen Flächen und den von ihnen berandeten
> Körpern (Würfel, Vollkugel etc.) im [mm]\IR^3[/mm] .
die Frage macht insofern keinen Sinn, als, dass sich alle Fragen klären, wenn man den Begriff "Kreis" definiert hat und sich an diese Definition dann hält.
Mir ist schon klar, dass eben die Problematik "Kreis=Kreislinie" oder "Kreis=Kreisscheibe" behandelt werden soll. Aber es hat keinen Sinn, zu sagen, wir betrachten beide Definitionen und schauen, "welche die bessere ist".
Ich benutze "Kreis" ständig im Sinne von "Kreis=Kreisscheibe", und so definiere ich diesen Begriff auch:
Ich definiere offene und abgeschlossene Kreise (=Kreisscheiben). Die Kreislinie ist bei mir der Rand des Kreises etc.
Wenn ich nun "Kreis=Kreislinie" definiere, dann arbeite ich halt mit "offenen/abgeschlossenen Bällen" und nenne einen 2-dimensionalen offenen/abgeschlossenen Ball auch offenen/abgeschlossenen Kreis (oder genauer: dann jeweils "Kreisscheibe" anstatt "Kreis").
Der einzige Sinn der Frage ist:
Man sollte halt klar und deutlich die Begriffe definieren und dann, wenn man sie benutzt, sich auch an die eingeführte entsprechende Definition halten, weil diese halt anderswo anders definiert sind, und diese Definitionen einander nicht äquivalent sind.
Ich sage nicht, dass Du Unrecht hast, dass es eben die "Begriffsproblematiken" gibt, dass Begriffe leider nicht einheitlich definiert sind, sondern das "literaturabhängig" sein kann. Ich sage nur: Man muss halt DEFINIEREN, WIE MAN MIT DEN BEGRIFFEN ARBEITET.
In der Topologie gibt's auch manches nicht ganz einheitliches: Der Begriff "Umgebung eines Punktes" ist nicht immer das gleiche.
Von daher: Die Frage macht für mich keinen Sinn, weil sich alles klärt, wenn man weiß, was der Begriff "Kreis" PER DEFINITIONEM bedeuten soll. Dann klärt sich alles!
Gruß,
Marcel
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Hallo Marcel,
sobald der Begriff "Kreis" einmal klar definiert ist, kommt
natürlich nur die eine der beiden Möglichkeiten in Frage.
Die Aufgabenstellung
| Aufgabe | Eine Sekante schneidet einen Kreis in
a) zwei Punkten
b) unendlich vielen Punkten
Welche Vorstellungen eines Kreises liegen in jedem Fall vor? |
bezieht sich aber genau auf die Situation, wo eine solche
eindeutige Definition (noch) nicht vorliegt und lenkt das
Augenmerk auf die Notwendigkeit einer klaren Begriffs-
bestimmung. In diesem Sinne halte ich die Frage für
nützlich.
Falls du den Begriff "Kreis" also stets im Sinne von "Kreis-
scheibe" auffasst, hat also etwa die Aufgabe
"In welchen Punkten schneidet der Kreis mit Mittelpunkt
M(3|7) und Radius r=6 die Gerade g mit der Gleichung y=x ?"
unendlich viele Lösungspunkte - oder ?
Gruß Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:31 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Al,
> Hallo Marcel,
>
> sobald der Begriff "Kreis" einmal klar definiert ist,
> kommt
> natürlich nur die eine der beiden Möglichkeiten in
> Frage.
> Die Aufgabenstellung
>
> Eine Sekante schneidet einen Kreis in
>
> a) zwei Punkten
> b) unendlich vielen Punkten
>
> Welche Vorstellungen eines Kreises liegen in jedem Fall
> vor?
>
>
> bezieht sich aber genau auf die Situation, wo eine solche
> eindeutige Definition (noch) nicht vorliegt und lenkt das
> Augenmerk auf die Notwendigkeit einer klaren Begriffs-
> bestimmung. In diesem Sinne halte ich die Frage für
> nützlich.
okay. Da stimme ich Dir zu. Aber: Das hätte man auch kurz zu der Aufgabe dazuschreiben sollen, etwa so:
Es gibt verschiedene Auffassungen, wie der Begriff "Kreis" definiert ist. Die Notwendigkeit einer KLAREN Definition zeigen die folgenden Fragen:
oder jedenfalls in solch einer Art und Weise!
> Falls du den Begriff "Kreis" also stets im Sinne von
> "Kreis-
> scheibe" auffasst, hat also etwa die Aufgabe
>
> "In welchen Punkten schneidet der Kreis mit Mittelpunkt
> M(3|7) und Radius r=6 die Gerade g mit der Gleichung y=x
> ?"
> unendlich viele Lösungspunkte - oder ?
Wenn ich die Aufgabe in meiner Definition so stellen würde, wollte ich in der Tat die unendliche Lösungsmenge sehen. Wenn ich die Aufgabe woanders lese (etwa in einem Schulbuch), sehe ich, dass hier "Kreis=Kreislinie=Kreisrand" gemeint ist. Aber das wesentliche, wie man die entsprechende Lösungsmenge erhält, wird ja eh auf gleiche Art und Weise berechnet.
Übrigens hätte ich bei der Aufgabe wirklich explizit dazugeschrieben:
"Im Folgenden nennen wir auch den Kreisrand eines Kreises (einer Kreisscheibe) einfach Kreis... " oder sowas.
P.S.:
Wie Du schon selbst gesagt hast: Schulaufgaben der Art "Berechne die Fläche eines Kreises mit Radius 3" sind dann auch sehr ungünstig formuliert, wenn "Kreis=Kreislinie".
(Ein wenig besser: Berechne die Fläche, die ein Kreis mit Radius 3 einschließt.)
Gruß,
Marcel
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> > Die Aufgabenstellung
> >
> > Eine Sekante schneidet einen Kreis in
> >
> > a) zwei Punkten
> > b) unendlich vielen Punkten
> >
> > Welche Vorstellungen eines Kreises liegen in jedem Fall
> > vor?
> >
> >
> > bezieht sich aber genau auf die Situation, wo eine solche
> > eindeutige Definition (noch) nicht vorliegt und lenkt
> das
> > Augenmerk auf die Notwendigkeit einer klaren Begriffs-
> > bestimmung. In diesem Sinne halte ich die Frage für
> > nützlich.
>
> okay. Da stimme ich Dir zu. Aber: Das hätte man auch kurz
> zu der Aufgabe dazuschreiben sollen, etwa so:
> Es gibt verschiedene Auffassungen, wie der Begriff "Kreis"
> definiert ist. Die Notwendigkeit einer KLAREN Definition
> zeigen die folgenden Fragen:
> oder jedenfalls in solch einer Art und Weise!
Hallo,
warum denn?
Man kann doch auch mal nach den Vorstellungen von Kreis fragen, ohne gleich damit rauszurücken, aus welchem Grund man fragt.
Immerhin gibt es ja eine Lehrperson, welche sehr regelmäßig in Erscheinung tritt und das Unterrichtsgeschehen moderiert.
Es wäre doch sehr wertvoll, wenn Schüler der Mittelstufe anhand der gestellten Frage selbst erkennen: "Wir müssen uns unbedingt darauf einigen, was wir in der Folge unter dem Begriff Kreis verstehen wollen."
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 Sa 11.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
> > > Welche Vorstellungen eines Kreises liegen in jedem Fall
> > > vor?
> > >
> > >
> > > bezieht sich aber genau auf die Situation, wo eine solche
> > > eindeutige Definition (noch) nicht vorliegt und
> lenkt
> > das
> > > Augenmerk auf die Notwendigkeit einer klaren
> Begriffs-
> > > bestimmung. In diesem Sinne halte ich die Frage
> für
> > > nützlich.
> >
> > okay. Da stimme ich Dir zu. Aber: Das hätte man auch kurz
> > zu der Aufgabe dazuschreiben sollen, etwa so:
> > Es gibt verschiedene Auffassungen, wie der Begriff "Kreis"
> > definiert ist. Die Notwendigkeit einer KLAREN
> Definition
> > zeigen die folgenden Fragen:
> > oder jedenfalls in solch einer Art und Weise!
>
> Hallo,
>
> warum denn?
ich bin Mathematiker. Das ist meine Ansicht (d.h. pädagogische Aspekte lasse ich (erstmal) außen vor ). Anstelle von "Man hätte dazuschreiben sollen" hätte ich besser geschrieben:
"Hätte ich die Aufgabe gestellt, wäre es meines Erachtens nach sinnvoller gewesen, noch etwas dazuzuschreiben, nämlich..."
> Man kann doch auch mal nach den Vorstellungen von Kreis
> fragen, ohne gleich damit rauszurücken, aus welchem Grund
> man fragt.
Dagegen habe ich i.a. auch überhaupt keine Einwände. Warum hat man das dann hier nicht auch so formuliert, sondern geht direkt mit "Eigenschaften eines Kreises" um, wo denn noch nicht mal klar ist, wie ein Kreis definiert ist?
In der Formulierung der Aufgabe, denke ich, ist die Frage dann eher:
Hilft man den Schülern/Schülerinnen damit, oder verwirrt man sie nur? Ich habe lange Nachhilfe gegeben, und wie oft passiert eben das: "Die Schüler "lernen", dass es verschiedene Auffassungen gibt. Jetzt benutzt der Physiklehrer eine andere wie der Mathematiklehrer. Und durch dieses "ständige hin- und herspringen" werden die Schüler nur verwirrt. Weil: Für den Physiklehrer ist meinetwegen absolut klar, dass "Kreis=Kreisscheibe" ist - er schreibt das nirgendswo mehr hin. Und der Mathematiklehrer hat definiert "Kreis=Kreislinie", redet dann aber an anderen Stellen trotzdem von "Kreisflächen"."
Oder noch schlimmer: Man lernt wirklich immer nur den Begriff "Kreis=Kreislinie" (sowohl in der Physik als auch in der Mathematik) und soll plötzlich "Flächeninhalte von Kreisen" berechnen. Das heißt, es ist an der Stelle nun alles andere als klar, dass hier "Kreis" eine neue Definition hat - denn vorher war immer klar, dass das doch nur "ein langer Strich und keine Fläche" ist - und plötzlich haben Striche sowas wie einen Flächeninhalt?
So, und was lernt man? Aus der Aufgabenstellung bzw. dem Zusammenhang heraus sollte man immer erraten können (und irgendwann macht man das "intuitv"), in welchem Sinne "Kreis" zu verwenden ist. Man automatisiert dieses und irgendwann kommt halt wirklich mal eine Aufgabe, wo eine klare Definition von nöten ist, da beide Auffassungen Sinn machen. Das verwirrt mehr, als es hilft - weil man dann durch den "Automatismus" gelenkt wird. Ein expliziter Hinweis an entsprechender Stelle, wo man sagt "Wir definieren "Kreis" wie folgt... Warnung: ..." bleibt bei mir in Erinnerung - alles andere eher nicht. Und selbst, wenn mir dann irgendwann klar wird, was mich verwirrt hat, habe ich das auch irgendwann wieder vergessen. Was spricht gegen die Vorgehensweise "Definition+Bemerkung", oder hier noch besser "Definition+Warnung"? Zum Nachdenken, was diese Warnung soll, kann man dann ja etwa die hier gestellte Frage anfügen. Ich - das ist nur meine persönliche Meinung - finde das wesentlich sinnvoller. Man lernt, dass Definitionen wichtig sind und man sich an ihnen orientieren muss, d.h., dass sie "klar und eindeutig" sind (irgendwie auch "wohldefiniert", oder "sinnvoll"). Die andere Vorgehensweise hat einen anderen Effekt: Man lernt mal, dass gleiche Begriffe verschieden definiert werden können, und dass das nicht immer das gleiche ist. Wenn man also mal verwirrt ist, sollte man die Definitionen nachschlagen (das lernt man bei "Definition+Warnungs-Vorgehensweise" aber auch). Ich denke aber sogar, dass das ganz spezifisch vom Schüler abhängt, wie man vorgeht. Und im Sinne der Schule:
Ich habe nichts dagegen, beides nach und nach zu machen. Also erstmal meinetwegen so wie hier, einfach die Fragen als "Vorüberlegung", und dann explizit aufzuschreiben, wie man nun den Begriff "Kreis" definiert, und dann in einer Warnung nochmal auf die Vorüberlegungen hinzuweisen. (Kann man bei den Vorüberlegungen nicht irgendwie einen Hinweis geben, in welche Richtung die Fragen abzielen? Sowas wie "Überlegungen zur Definition des Begriffes "Kreis"? Oder wäre das schon wieder zuviel des Guten?) Keine Ahnung: Ich bin auch kein Pädagoge (und hege auch keinen Anspruch darauf). Von daher: Solange es irgendwie mal wenigstens dazu führt, mathematisch den Begriff "Kreis" klar zu definieren und darauf hinzuweisen, dass es auch andere Definitionen gibt, bin ich als Mathematiker zufrieden.
> Immerhin gibt es ja eine Lehrperson, welche sehr
> regelmäßig in Erscheinung tritt und das
> Unterrichtsgeschehen moderiert.
> Es wäre doch sehr wertvoll, wenn Schüler der Mittelstufe
> anhand der gestellten Frage selbst erkennen: "Wir müssen
> uns unbedingt darauf einigen, was wir in der Folge unter
> dem Begriff Kreis verstehen wollen."
Wenn der Lehrer das so hinbekommt, dann ja. Das muss aber ein guter Moderator sein und er muss erkennen, welche Schüler mit welcher Vorgehensweise besser umgehen können. Das heißt eigentlich: Er muss beide Vorgehensweisen anbieten! (Ich spreche aus eigener Erfahrung: Mir war in der Schule nie bewußt, dass ich den Begriff "Kreis" in verschiedenen Situationen unterschiedlich aufgefasst habe - mal als "Kreisscheibe" und mal als "Kreislinie". Und ich bin sicher, dass bei mir die Vorgehensweise "Definition+Warnung" mit einer Erläuterung der Warnung besser im Gedächtnis bleibt. Allerdings ist das wirklich auch nur bei "Definitionen" so - bei "mathematischen Methoden" lerne ich, vollkommen im Gegensatz dazu, wirklich nur durch "Rechnen" und sehen, was ich da falsch gemacht habe, wenn ich mal fundamental falsch gedacht habe).
Gruß,
Marcel
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