Definition Differenzierbarkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei a [mm] \in [/mm] M [mm] \subset \IR^n [/mm] und f [mm] \in Abb(M,\IR^2).
[/mm]
f heißt differenzierbar in a, wenn a ein innerer Punkt von M ist und wenn es eine (m,n)-Matrix A gibt, sodass die Restfuntion r : M [mm] \to \IR^m, [/mm] die durch
f(x) = f(a) + A (x - a) + r(x) mit x [mm] \in [/mm] M definiert ist, die Eigenschaft
[mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{||x - a||} [/mm] = 0 besitzt.
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Hallo,
kann mir vielleicht jemand bei der Definition der Differenzierbarkeit helfen. Ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich das alles so richtig verstehe.
Also, die Funktion f(x) = f(a) + A (x - a) + r(x) ist doch eine lineare Approximation von f an der Stelle a. Und die Funktion ist in a differenzierbar, wenn es eine Restfunktion mit der oben beschriebenen Eigenschaft gibt. Ist das richtig so?
Ich bin mir allerdings nicht sicher, was mir diese Eigenschaft bezüglich der Restfunktion sagt ? Denn ich weiß nicht wie ich diesen Grenzwert deuten muss!? In diesem Zusammenhang frage ich mich nämlich außerdem folgendes :
Spielt es bei der Deutung des Grenzwertes eigentlich eine Rolle (wenn Zähler und Nenner gegen Null gehen) ob der Zähler oder der Nenner
schneller gegen Null geht. Und wenn ja welche?
Und welche Eigenschaft muss nun also r(x) erfüllen, damit [mm] \limes_{x\rightarrow a} \bruch{r(x)}{||x - a||} [/mm] = 0 erfüllt ist.
Was mir ausserdem nicht ganz klar ist, was der Term f(a) in der Approximation bedeutet. Ist es etwas Vergleichbares wie der y-Achsenabschnitt b bei linearen Funktionen f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] x [mm] \to [/mm] ax + b
Vielleicht kann mir ja jemand Antworten auf meine Fragen geben.
Viele Grüße,
schlumpfinchen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Mi 20.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Definition ist genau analog der eindimensionalen Differenzierbarkeit.
a ist der Punkt, an dem die fkt angenaehert wird, damit ist es im 1d natuerlich der "y-Abschnitt" aber besser einfach der Funktionswert an der Stelle. A*(x-a) ist wie du richtig gesehen hast die lineare Approximation und r(x) die Abweichung von der linearen Approximation an der Stelle a. also der Fehler, den man mit der lin. Approx. macht, wenn man sie an der Stelle x statt der fkt verwendet. Deshalb ist es klar, das der Fehler bei annaeherung von x an a beliebig klein werden muss, sonst waer es ja keine Naeherung.
du hast da stehen, das f(x) die lineare Approx. ist, so ist das natuerlich falsch. nur wenn du r(x) weglaesst ist es die Approx, sonst einfach die fkt selbst.
Die Frage mit dem GW versteh ich nicht ganz, wenn Z und N "gleich schnell" gegen 0 gehen, wie etwa (x-a)/|x-a| dann ist der GW doch nicht 0? Mit GW bist du doch schon oft umgegangen?
Gruss leduart
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