Definitheit < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 Mo 02.07.2007 | | Autor: | polyurie |
Hallo,
ich habe eine Frage zur Definitheit von Matrizen über die HAUPTABSCHNITTSDETERMINANTEN. Woran erkenne ich ob eine Matrix positiv definit, positiv semidefinit, negativ definit, negativ semidefinit oder indefinit ist. Und was sagt das über die Extremwerte der Funktion aus? Wann hab ich ein Maximum, Minimum und so weiter
Es wäre super wenn mir da jemand weiterhelfen könnte
MfG
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Mo 02.07.2007 | | Autor: | kochmn |
Grüß Dich, Stefan,
also... eine Matrix heißt
* positiv definit, wenn alle ihre Eigenwerte > 0 sind.
* positiv semidefinit, wenn alle ihre Eigenwerte [mm] \ge [/mm] 0 sind.
* negativ definit, wenn alle ihre Eigenwerte < 0 sind.
* negativ semideginit, wenn alle ihre Eigenwerte [mm] \le [/mm] 0 sind.
* indefinit sonst.
Hast Du für f(x,y) nun eine Stelle [mm] (x_0,y_0) [/mm] gefunden, an der [mm] grad(f(x_0,y_0))=0, [/mm] so
bestimmst Du zur weiteren Untersuchung des möglichen Extremums an dieser Stelle die Hessematrix:
[mm] H(x_0,y_0)=\pmat{ \bruch{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x^2} & \bruch{ \partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial x \partial y}\\ \bruch{ \partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial y \partial x} & \bruch{\partial^2 f(x_0,y_0)}{\partial y^2}}
[/mm]
(funktioniert auch im höherdimensionalen)
Satz: Ist an einer Stelle [mm] (x_0,y_0) [/mm] der [mm] grad(f(x_0,y_0))=0, [/mm] so liegt ein
* lokales Minimum vor, wenn H positiv definit ist
* lokales Maximum vor, wenn H negativ definit ist
* ein Sattelpunkt vor, wenn H indefinint ist.
Einen schönen Beweis findest Du z.B. in Heuser Analysis, Bd 2.
Liebe Grüße,
Markus-Hermann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:21 Mo 02.07.2007 | | Autor: | polyurie |
Super, vielen Dank!!!!!!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:24 Mo 02.07.2007 | | Autor: | polyurie |
Hab doch noch eine Frage:
Wie sind die Regeln für die Hauptabschnittsdeterminanten? Für welche Haupabschnittsdeterminanten ist die Matrix positiv definit, negativ definit, positiv u. negativ semidefinit und indefinit??? Wir sind in der Klausur diesbezüglich ziemlich eingeschränkt und dürfen nur mit den Hauptabschnittsdeterminanten arbeiten und nicht mit den Eigenwerten.
Danke im Voraus für die Hilfe!
Sory, das sollte eigentlich eine Frage werden... ich schreibs nochmal
Gruß
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Mo 02.07.2007 | | Autor: | polyurie |
Hab doch noch eine Frage:
Wie sind die Regeln für die Hauptabschnittsdeterminanten? Für welche Haupabschnittsdeterminanten ist die Matrix positiv definit, negativ definit, positiv u. negativ semidefinit und indefinit??? Wir sind in der Klausur diesbezüglich ziemlich eingeschränkt und dürfen nur mit den Hauptabschnittsdeterminanten arbeiten und nicht mit den Eigenwerten.
Danke im Voraus für die Hilfe!
Gruß
Stefan
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Hiho,
eine Matrix ist positiv (semi)definitv, wenn alle Hauptabschnittsdeterminanten grösser(gleich) Null, negativ (semi)definit, wenn alle Hauptabschnittsdeterminanten von -A grösser(gleich) 0.
Indefinitheit lässt sich damit meines Erachtens net beurteilen.
MfG,
Gono
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