Darstellungsmatrizen < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Ernie |
Hallo Leute. Hab nen riesen Problem mit ner Aufgabe auf nen Übungszettel.
Sitzte daran bereits etliche stunden, ohne nen wirklichen Erfolg.
Hoffe einer von euch kann mir weiterhelfen??? Bitte!!!
Also: Die Aufgabe lautet wie folgt:
Wir betrachten die Vektorräume V := < 1, X, [mm] X^2 [/mm] > und W := < 1 , X , [mm] X^2 [/mm] , ^3 >.
Gegeben seien die Basen B = ( 1 , X-1 , [mm] (x-1)^2, (X-1)^3 [/mm] ) von W , und
A = ( 0,5X(X-1), [mm] 1-X^2, [/mm] 0,5X(x+1)) von V.
Weiterhin gelte für die lineare Abbildung D : W [mm] \to [/mm] V
D(1) =0 , D(X) = 1 , [mm] D(X^2) [/mm] = 2x , [mm] D(X^3) [/mm] = [mm] 3x^2.
[/mm]
Und für die lineare Abbildung S : V [mm] \to [/mm] W
S(1) = X , S(X) = [mm] 0,5X^2 [/mm] ; [mm] S(X^2) [/mm] = [mm] 1/3X^3.
[/mm]
Dadurch ist D und S eindeutig bestimmt.
Bestimmen Sie die Darstellungsmatritzen [mm] M_{B,A}(D) [/mm] und [mm] M_{A,B}(S).
[/mm]
Weiß lediglich, dass Erzeugnisse von V und W jeweils abgeleitet bzw. aufgeleitet wurden. Daraus ergeben sich ja die Abbildungen D und S. Aber wie bestimmt man den daraus die darstellungsmatritzen??? Komme da einfach nicht weiter.
Danke im Voraus...:) Ernie
|
|
| |
|
Hallo Ernie,
betrachte Polynome $n$-ten Grades als Elemente des [mm] $\IR^{n+1}$! [/mm] Z.B. entspricht dann das Polynom [mm] $aX^2+bX+c$ [/mm] dem Vektor [mm] $\vektor{c\\b\\a}$ [/mm] in [mm] $V\cong \IR^3$ [/mm] und dem Vektor [mm] $\vektor{c\\b\\a\\0}$ [/mm] in [mm] $W\cong\IR^4$.
[/mm]
Hilft dir das weiter?
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Ernie |
Hallo banachella. danke für Deine Antwort.
Hab mir das noch mal überlegt.
Wenn ich die Def. von V und W betrachte, heißt das, dass die Matritzen über die Abbildungsvorschrift von :
[mm] X^2 [/mm] + X + 1 [mm] \to X^3 [/mm] + ^2 + X + 1
bestimmt werden, oder sagt mir Deine Aussage etwas anderes?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:38 Fr 22.12.2006 | | Autor: | clwoe |
Hi,
eigentlich ist es gar nicht so schwer.
Du hast einmal eine Lineare Abbildung gegeben von W nach V für die die Abbildungsvorschrift vorliegt, nämlich Differentiation. Für die Abbildung von V nach W heißt die Abbildungsvorschrift Integration.
Ebenfalls hast du die Basisvektoren von V und W gegeben. Angenommen du behandelst jetzt die Abbildung von W nach V. Dann nimmst du jeden einzelnen Basisvektor her und bildest ihn mit Hilfe deiner entsprechenden Abbildungsvorschrift ab. Also angenommen du nimmst die Abbildung mit der Differentiation dann leitest du sozusagen jeden Basisvektor ab. Somit hast du neue Basisvektoren erzeugt und zwar Basisvektoren des Bildraumes. Nun versuchst du mit Hilfe eines Gleichungssystems diese neuen Basisvektoren mit Hilfe der Basisvektoren des Bildraumes, die schon gegeben sind darzustellen. Du stellst also ein Gleichungssystem auf, mit Koeffizienten und den schon gegebenen Basisvektoren des Bildraumes und versuchst den gerade errechneten neuen Basisvektor dadurch darzustellen. Die errechneten Koeffizienten sind die Spalten deiner Darstellungsmatrix.
Denn wenn du die Bilder der Basisvektoren erzeugst, dann ist durch die Abbildungsvorschrift das Bild schon eindeutig festgelegt.
Das ist eigentlich alles.
Gruß,
clwoe
|
|
|
|
