Darstellungsmatrix bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei A die kanonische Basis des [mm] $\mathbb{R}^3$. [/mm] Bestimme:
[mm] $M_{AA}(f)$ [/mm] für $f [mm] \in End(\mathbb{R}^3)$ [/mm] mit
$(1,2,3) [mm] \to [/mm] (1,1,1), (2,3,4) [mm] \to [/mm] (2,2,2), (2,4,5) [mm] \to [/mm] (3,3,3)$. |
Reicht es, das allgemeine Gerüst aufzustellen:
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$ \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$
[/mm]
entsprechend für die beiden anderen Zuordnungen.
Damit erhalte ich dann:
a = d= g= 0
b = e= h = 2
c = f = i = -1
Stimmt das?
Oder muss ich die Darstellungsmatrix mit der kanonischen Basis bestimmen? Dazu müsste ich dann soweit ich weiß die drei Basisvektoren des [mm] R^3 [/mm] durch die Vektoren (1,2,3) und (2,3,4) und (2,4,5) darstellen..
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:47 So 12.01.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Vorgehen ist nicht falsch, die Standardbasisvektoren aus den 3 gegebenen herzustellen wahrscheinlich aber viel schneller, direkt sehen etwa kann man etwa 2a-c=
wenn deine Vektoren a,b,c sind
fast so schnell die 2 anderen.
Gruß leduart
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Hi,
erhalte ich aber in beiden Fällen die Darstellungsmatrix? Nachdem ich einige Bücher durchgelesen habe beschränkt sich die Darstellungsmatrix ja auf die Vektoren der Bilder der BASISvektoren.
Für meine Aufgabe also:
Ich stelle die drei Basisvektoren durch die drei gegebenen Vektoren a,b,c dar.
Ich erhalte:
$ [mm] e_1 [/mm] = -a +2b -c$ , [mm] $e_2 [/mm] = -2a -b +2c$ und $ [mm] e_3 [/mm] = 2a - c$.
Es ergibt sich dann:
[mm] $f(e_1) [/mm] = (0,0,0)$,
[mm] $f(e_2) [/mm] = (2,2,2)$,
[mm] $f(e_3) [/mm] = (-1,-1,-1)$.
Schreibe ich diese drei Bildvektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix bin ich schon fertig.
Korrekt?
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> Hi,
>
> erhalte ich aber in beiden Fällen die Darstellungsmatrix?
Hallo,
wenn Du alles richtig machst: ja.
> Nachdem ich einige Bücher durchgelesen habe beschränkt
> sich die Darstellungsmatrix ja auf die Vektoren der Bilder
> der BASISvektoren.
>
> Für meine Aufgabe also:
>
> Ich stelle die drei Basisvektoren durch die drei gegebenen
> Vektoren a,b,c dar.
> Ich erhalte:
> [mm]e_1 = -a +2b -c[/mm] , [mm]e_2 = -2a -b +2c[/mm] und [mm]e_3 = 2a - c[/mm].
Wenn Du klar und deutlich sagen würdest, welche Vektoren Du mit a,b,c meinst, könnte man es prüfen.
Wenn [mm] e_1=-a+2b-c [/mm] ist, dann ist [mm] f(e_1)=-f(a)+2f(b)-f(c), [/mm] die anderen entsprechend, und die Ergebnisse kommen in die drei Spalten.
LG Angela
>
> Es ergibt sich dann:
>
> [mm]f(e_1) = (0,0,0)[/mm],
> [mm]f(e_2) = (2,2,2)[/mm],
> [mm]f(e_3) = (-1,-1,-1)[/mm].
>
> Schreibe ich diese drei Bildvektoren als Spaltenvektoren in
> eine Matrix bin ich schon fertig.
>
>
> Korrekt?
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