Darstellungsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachte [mm] \IR^3 [/mm] mit Basis [mm] A=(\vektor{1 \\ 0 \\ -1},\vektor{1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{3 \\ 1 \\ 0}) [/mm] und
[mm] \IR^2 [/mm] mit Basis [mm] B=(\vektor{1 \\ 1},\vektor{-2 \\ 1})
[/mm]
[mm] F:\IR^3\to \IR^2 [/mm] ist die lineare Abbildung mit
[mm] M_B^A(F)=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
Berechne [mm] F(\vektor{x \\ y \\ z}) [/mm] für einen beliebigen Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z}\in \IR^3, [/mm] sowie die Darstellungsmatrix von F bezüglich der Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] |
Könnt ihr mir vielleicht erklären wie ich hier die Darstellungsmatrix von F bezüglich der Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] bilden kann?
Mich irritiert auch, warum [mm] M_B^A(F) [/mm] gegeben ist.
Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
MfG
mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mo 02.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du F fuer einen beliebigen vektor mit der Basis A hast kannst du die Standardbasis ja mit der A basis darstellen und kennst damit die bilder der standardbasis und damit die matrix in Standarddarstellung.
Gruss leduart
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das verstehe ich nicht ganz. Ich weiß nicht wie ich hier abbilden soll und warum bzw wie ich einfach einen beliebigen Vektor wählen soll.
Ich wäre sehr dankbar, wenn ihr mir das nochmal erklären könnt.
MfG
Mathegirl
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Hallo,
lies mal dort.
LG Angela
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
Das Vorgehen dort wurde zur Berechnung der Abbildungsmatrix genutzt.
Kannst mir einen Tipp geben wie ich die Darstellungsmatrix bei dieser Aufgabe bezüglich der Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] berechnen kann?
zu dem Link von Angela:
[mm] \pmat{ -x & -y \\ -x & +5y & -3z } [/mm] soll die zu berechnende Abbildungsmatrix darstellen, oder irre ich mich?
LG heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du irrst dich. Sowas steht doch in dem ganzen thread nicht!
hast du F(x,y,z) mal in der Basis B hingeschrieben, hast du die kanonischen Basisvektoren als Linearkombination der Basis B hingeschrieben?
Dann kannst du doch das Bild jedes Basusvektors finden und damit die gesuchte Basis.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:50 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
Doch, das befindet sich in dem Link von Angela! Schau doch nochmal nach.
Okay, also nochmal ganz von vorne:
Berechne [mm] F\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] für einen beliebigen Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z} \in \IR^3
[/mm]
Das mache ich mal:
[mm] \vektor{x \\ y \\ z}=a*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+b*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+c*\vektor{3 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
der Ansatz stimmt doch erstmal oder?
Dann kann ich a,b, c berechnen
[mm] a=-\bruch{3}{2}x+\bruch{9}{2}y-\bruch{5}{2}z
[/mm]
[mm] b=-\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}y-\bruch{1}{2}z
[/mm]
c=x-2y+z
Wie gehe ich nun weiter vor?
LG heinze
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Mi 04.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
F ist doch gegeben durch
$ [mm] M_B^A(F)=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 } [/mm] $
also [mm] F(\vektor{x\\y\\z})=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 } *\vektor{x\\y\\z}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:53 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
Das irritiert mich jetzt vollständig!!
Angela hat mir doch den Link gesendet, da ist doch die identische Aufgabenstellung, nur dass die Abbildungsmatrix gesucht ist und nicht die Darstellungsmatrix. Warum kann ich hier dann nicht auch so vorgehen wenn foch auch f von einem beliebigen vektor gesucht ist?
LG heinze
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> Das irritiert mich jetzt vollständig!!
>
> Angela hat mir doch den Link gesendet, da ist doch die
> identische Aufgabenstellung, nur dass die Abbildungsmatrix
> gesucht ist und nicht die Darstellungsmatrix.
Hallo,
das ist doch dasselbe...
LG Angela
> Warum kann
> ich hier dann nicht auch so vorgehen wenn foch auch f von
> einem beliebigen vektor gesucht ist?
>
> LG heinze
>
>
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> Hallo
> F ist doch gegeben durch
> [mm]M_B^A(F)=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 2 }[/mm]
> also
> [mm]F(\vektor{x\\
y\\
z})=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 2 } *\vektor{x\\
y\\
z}[/mm]
Hallo,
wenn heinze einfach [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 } *\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] rechnet, hat heinze [mm] F(xa_1+ya_2+za_3) [/mm] in Koordinaten bzgl B, was nicht das ist, was gewünscht war.
LG Angela
>
> Gruss leduart
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> Okay, also nochmal ganz von vorne:
Hallo,
rekapitulieren wir die Aufgabenstellung:
wir hatten den [mm] \IR^3 [/mm] mit Basis [mm] A=(\vektor{1 \\
0 \\
-1},\vektor{1 \\
2 \\
3}, \vektor{3 \\
1 \\
0}) [/mm] und den
[mm] \IR^2 [/mm] mit Basis [mm] B=(\vektor{1 \\
1},\vektor{-2 \\
1}) [/mm],
die lineare Abbildung
[mm] F:\IR^3\to \IR^2 [/mm] mit
[mm] M_B^A(F)=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 2 } [/mm].
Nun soll man
> [mm]F\vektor{x \\
y \\
z}[/mm] für einen beliebigen Vektor [mm]\vektor{x \\
y \\
z} \in \IR^3[/mm]
berechnen.
>
> Das mache ich mal:
>
> [mm]\vektor{x \\
y \\
z}=a*\vektor{1 \\
0 \\
-1}+b*\vektor{1 \\
2 \\
3}+c*\vektor{3 \\
1 \\
2}[/mm]
>
> der Ansatz stimmt doch erstmal oder?
Ja.
Die Idee dabei: wir kennen die Bilder der drei Basisvektoren von A.
Wenn wir [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] als Linearkombination dieser Vektoren schreiben, kennen wir aufgrund der Linearität von F auch schnell sein Bild unter F.
> Dann kann ich a,b, c berechnen
>
> [mm]a=-\bruch{3}{2}x+\bruch{9}{2}y-\bruch{5}{2}z[/mm]
>
> [mm]b=-\bruch{1}{2}x+\bruch{3}{2}y-\bruch{1}{2}z[/mm]
>
> c=x-2y+z
>
> Wie gehe ich nun weiter vor?
Mit [mm] \vektor{x \\
y \\
z}=a*\vektor{1 \\
0 \\
-1}+b*\vektor{1 \\
2 \\
3}+c*\vektor{3 \\
1 \\
2} [/mm] gilt natürlich
[mm] F(\vektor{x \\
y \\
z})=F(a*\vektor{1 \\
0 \\
-1}+b*\vektor{1 \\
2 \\
3}+c*\vektor{3 \\
1 \\
2})
[/mm]
Nutze die Linearität, das ergibt ...=aF(...)+...+.... [mm] (\*)
[/mm]
.
Nun mußt Du mal überlegen, was Dir die Matrix [mm] M_B^A(F) [/mm] zu sagen hat: in den Spalten enthält sie die Bilder der Basivektoren von A in Koordinaten bzgl B.
Es ist also
[mm] F(\vektor{1\\0\\-1})=\vektor{1\\1}_{\red{B}}=1*\vektor{1\\1}+1*\vektor{-2\\1 } =\vektor{-1\\2},
[/mm]
die anderen kannst Du entspechend berechnen.
Wenn Du das getan hast, kennst Du die Bilder der Basisvektoren von A in Standardkoordinaten, und das nützt Dir nun bei [mm] (\*).
[/mm]
Gruß v. Angela
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Mi 04.01.2012 | | Autor: | heinze |
Die Darstellungsmatrix von F zu den Standardbasen müsste doch wie folgt lauten:
[mm] \pmat{ -1 & -3 & -4 \\ 2 & 0 & 2 }
[/mm]
Richtig?
Wie bezeichne ich die? [mm] M_A^B(F) [/mm] steht ja schon in der Aufgabenstellung.
LG heinze
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> Die Darstellungsmatrix von F zu den Standardbasen müsste
> doch wie folgt lauten:
>
> [mm]\pmat{ -1 & -3 & -4 \\
2 & 0 & 2 }[/mm]
>
> Richtig?
Hallo,
die erste Spalte jedenfalls ist richtig. Den Rest könnte ich kontrolieren, wenn ich die rechnugn sehen würde - ich will ja nicht selbst rechnen..
Nein.
Um die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen aufzustellen, brauchst Du doch die Bilder der Standardbasisvektoren von [mm] \IR^3 [/mm] und nicht die Bilder der Basisvektoren von A.
Die Matrix, die Du obenstehen hast, ist die Matrix [mm] M^A_{E_2}.
[/mm]
>
> Wie bezeichne ich die? [mm]M_A^B(F)[/mm] steht ja schon in der
> Aufgabenstellung.
Nein, in der Aufgabenstellung steht [mm] M_B^A(F) [/mm] - das ist ein Unterschied!
Geb den Standardbasen Namen, etwa [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2, [/mm] und dann kannst Du sie als [mm] M_{E_2}^{E_3} [/mm] bezeichen.
Vielleicht aber habt ihr auch irgendeine spezielle Bezeichnung für die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen - die kennst dann aber nur Du.
Gruß v. Angela
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:11 Do 05.01.2012 | | Autor: | heinze |
[mm] F\vektor{1 \\ 0 \\ -1}=1*\vektor{1 \\ 1}+1*\vektor{-2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
[mm] F\vektor{1 \\ 2 \\ 2}=-1*\vektor{1 \\ 1}+1*\vektor{-2 \\ 1}=\vektor{-3 \\ 0}
[/mm]
[mm] F\vektor{3 \\ 1 \\ 2}=0*\vektor{1 \\ 1}+2*\vektor{-2 \\ 1}=\vektor{-4 \\ 2}
[/mm]
Daraus habe ich die Darstellungsmatric gebildet:
[mm] \pmat{ -1 & -3 & -4 \\ 2 & 0 & 2 }
[/mm]
Ich habe zwecks Darstellung nochmal geschaut: M' bezeichnen wie dann die Darstellungsmatrix, also [mm] M'_B^A(F) [/mm] oder müssen die Standardbasen hier vertauscht werden?
LG heinze
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> [mm]F\vektor{1 \\
0 \\
-1}=1*\vektor{1 \\
1}+1*\vektor{-2 \\
1}=\vektor{-1 \\
2}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{1 \\
2 \\
2}=-1*\vektor{1 \\
1}+1*\vektor{-2 \\
1}=\vektor{-3 \\
0}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{3 \\
1 \\
2}=0*\vektor{1 \\
1}+2*\vektor{-2 \\
1}=\vektor{-4 \\
2}[/mm]
>
> Daraus habe ich die Darstellungsmatric gebildet:
>
> [mm]\pmat{ -1 & -3 & -4 \\
2 & 0 & 2 }[/mm]
Hallo,
nein, das ist nicht die gesuchte Darstellungsmatrix.
(Beachte hierzu meine editierte Antwort vom frühen Morgen.)
Aber mal ganz davon abgesehen: warst Du nicht eigentlich dabei, [mm] F(\vektor{x\\y\\z}) [/mm] auszurechnen?
Du hattest doch [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] geschrieben als Linearkombination der Basisvektoren von A. Wie?
Oben hast Du nun die Bilder der Basisvektoren von A in Standardkoordinaten ausgerechnet.
Nun hast Du die Zutaten, um [mm] F(\vektor{x\\y\\z}) [/mm] auszurechnen.
Bei Rückfragen bitte ich um eine zusammenhängende, nachvollziehbare Darstellung Deines Tuns, bei welcher ich (bzw. wer anders) nicht hin- und herklicken muß.
Dies nützt nicht nur mir, sondern auch Dir, denn so verlierst Du das große Ganze nicht aus den Augen.
Zur Darstellungsmatrix ist's dann nur noch ein kleiner Schritt.
> Ich habe zwecks Darstellung nochmal geschaut: M' bezeichnen
> wie dann die Darstellungsmatrix, also [mm]M'_B^A(F)[/mm] oder
> müssen die Standardbasen hier vertauscht werden?
Oh mein Gott. Was genau bezeichnet Ihr mit M'? Wofür steht jetzt der Strich? Was steht denn genau Skript?
Bei der Bezeichnung der Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen haben A und B absolut nichts verloren. Das sind doch nicht die Standardbasen!
Sag den Chefs, daß Du die Standardbasen [mm] E_3 [/mm] und [mm] E_2 [/mm] nennst, und bezeichne die Matrix so, wie ich es gesagt habe.
Oben steht die Basis des Startraumes, unten die des Zielraumes.
Ich habe den Eindruck, daß Du das Thema der Abbildungsmatrizen/Darstellungsmatrizen bzgl verschiedener Basen wirklich gründlich nacharbeiten solltest.
Das kann ja gerne beim Lösen der entsprechenden Aufgaben geschehen, hab' ich auch immer so gemacht. Bloß Du wirst die Aufgaben nciht sinnvoll lösen können, wenn Du nicht parallel die entsprechenden Passagen der Vorlesung nacharbeitest.
LG Angela
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Do 05.01.2012 | | Autor: | heinze |
Vorlesung und Anwendung ist immer so eine Sache ;) Unsere Vorlesung hängt nicht sehr stark mir der Praxis zusammen.
Gut, dann poste ich meine weiteren Schritte:
[mm] F(a*\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+b*\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+c*\vektor{3 \\ 1 \\ 0}= a*F\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+b*F\vektor{1 \\ 2 \\ 3}+c*F\vektor{3 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Dann habe ich eingesetzt:
[mm] (-\bruch{3}{2}x+\bruch{9}{2}y-\bruch{5}{2}z)\vektor{-1 \\ 2}+...
[/mm]
[mm] =\pmat{ -x -y \\ -x+5y-3z }= F(\vektor{x \\ y \\ z}
[/mm]
Das ist nun berechnet.
Ich habe dich aber noch nicht recht verstanden was die Berechnung der Darstellungsmatrix betrifft. Das ist mir in dem Fall nicht klar.
Kannst du mir das nochmal erklären?
LG heinze
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> Vorlesung und Anwendung ist immer so eine Sache ;) Unsere
> Vorlesung hängt nicht sehr stark mir der Praxis zusammen.
Hallo,
ja, weil die Vorlesung normalerweise recht schnell voranschreitet und auf das langatmige Vorrechnen von konkreten Beispielen verzichtet, ist das Nacharbeiten so wichtig.
>
> Gut, dann poste ich meine weiteren Schritte:
>
> [mm]F(a*\vektor{1 \\
0 \\
-1}+b*\vektor{1 \\
2 \\
3}+c*\vektor{3 \\
1 \\
0}= a*F\vektor{1 \\
0 \\
-1}+b*F\vektor{1 \\
2 \\
3}+c*F\vektor{3 \\
1 \\
0}[/mm]
>
> Dann habe ich eingesetzt:
>
> [mm](-\bruch{3}{2}x+\bruch{9}{2}y-\bruch{5}{2}z)\vektor{-1 \\
2}+...[/mm]
>
> [mm]=\pmat{ -x -y \\
-x+5y-3z }= F(\vektor{x \\
y \\
z}[/mm]
>
> Das ist nun berechnet.
Ob's richtig ist, kannst Du ja im anderen Thread vergleichen.
Ich gehe davon aus, daß es so stimmt.
Entscheidender ist, daß Du Dein Tun verstanden hast und im Falle eines Falles den Chefs erklären kannst, was Du weshalb getan hast.
Das solltest Du (still für Dich) prüfen.
> Ich habe dich aber noch nicht recht verstanden was die
> Berechnung der Darstellungsmatrix betrifft. Das ist mir in
> dem Fall nicht klar.
In welchen Fällen ist es Dir denn klar?
Lerne auch Du das Sprüchlein auswendig, welches ich gefühlte zehntausendmal im Forum geschrieben habe:
In den Spalten der Darstellungmatrix [mm] M_D^C(f) [/mm] von f bzgl. der Basen C im Start- und D im Zielraum stehen die Bilder der Basisvektoren von C unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl. D.
Wenn Du dieses Sprüchlein nun aufsagst für Deine Basen und Deine Abbildung (Wie lautet es?), dann weißt Du, was zu tun ist.
Was mußt Du jetzt also berechnen? Die Definitionsgleichung, die Du oben aufgestellt hast, ist dafür extrem nützlich...
Gruß v. Angela
>
> Kannst du mir das nochmal erklären?
>
>
> LG heinze
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Mir ist hier eins noch nicht klar: Ich kenne nur die Berechnung einer Darstellungsmatrixmit den Bildern der Basisvektoren. Wie mache ich das bei den Standardbasisvektoren?
was sind hier meine Standardbasisvektoren?
MfG
Mathegirl
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> Mir ist hier eins noch nicht klar: Ich kenne nur die
> Berechnung einer Darstellungsmatrixmit den Bildern der
> Basisvektoren.
Hallo,
was heißt "nur"? Das ist doch prima, daß Du das kennst, und mehr muß man auch nicht kennen, denn -
> Wie mache ich das bei den
> Standardbasisvektoren?
- die Standardbasisvektoren sind doch die Vektoren der Standardbasis.
>
> was sind hier meine Standardbasisvektoren?
Na, die kanonischen Einheitsvektoren, [mm] \vektor{1\\0\\0} [/mm] usw. für den [mm] \IR^3 [/mm] bzw. [mm] \vektor{1\\0}, \vektor{0\\1} [/mm] für den [mm] \IR^2.
[/mm]
LG Angela
>
>
> MfG
> Mathegirl
>
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Sa 07.01.2012 | | Autor: | heinze |
Also muss ich das Bild von [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 } [/mm] bilden?
[mm] F\vektor{1 \\ 0 \\ 0}=1*\vektor{1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1}=\vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] F\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=-1*\vektor{1 \\ 0}+1*\vektor{0 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
[mm] F\vektor{0 \\ 0 \\ 1 }=0*\vektor{1 \\ 0}+2*\vektor{0 \\ 1}=\vektor{0 \\ 2}
[/mm]
Die Darstellungsmatrix zu den Standardbasen :
[mm] M_E_3^E_2=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
Die Bezeichnung Standardbasen hat mich auch irritiert. So müsste es nun stimmen!
Wäre gut wenn nochmal jemand über die Rechnung schaut.
LG heinze
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> Also muss ich das Bild von [mm]\vektor{1 \\
0 \\
0}, \vektor{0 \\
1 \\
0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\
0 \\
1 }[/mm] bilden?
Hallo,
ja, wenn Du die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen suchst, solltest Du das tun.
>
> [mm]F\vektor{1 \\
0 \\
0}=1*\vektor{1 \\
0}+1*\vektor{0 \\
1}=\vektor{1 \\
1}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{0 \\
1 \\
0}=-1*\vektor{1 \\
0}+1*\vektor{0 \\
1}=\vektor{-1 \\
1}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{0 \\
0 \\
1 }=0*\vektor{1 \\
0}+2*\vektor{0 \\
1}=\vektor{0 \\
2}[/mm]
Woher hast Du diese Bilder?
Wie hast Du sei ausgerechnet?
Ich fürchte, irgendwas ist hier in die Hose gegangen...
Selbst ich, die diese Aufgabe gar nicht bearbeiten muß, erinnere mich daran, daß [mm] F(\vektor{x\\y\\z}) [/mm] bereits berechnet wurde.
Es kann doch nun nicht so schwer sein, für [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] die Standardbasisvektoren einzusetzen.
Wenn Du die Aufgabe irgendwann fertig hast, solltest Du Dir alles von Beginn an nochmal durchdenken, damit die ganze Mühe auch ein wenig "nachhaltig" ist.
>
> Die Darstellungsmatrix zu den Standardbasen :
>
> [mm]M_E_3^E_2=\pmat{ 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 2 }[/mm]
Ist schon etwas irritieren, daß das genau die gegebene Matrix ist, oder?
>
> Die Bezeichnung Standardbasen hat mich auch irritiert.
Ja? Wie nennt Ihr sie denn sonst?
LG Angela
> So
> müsste es nun stimmen!
> Wäre gut wenn nochmal jemand über die Rechnung schaut.
>
>
> LG heinze
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:21 So 08.01.2012 | | Autor: | heinze |
Ja, manchmal sollten Mathematik und Denken zusammen spielen ;)
Es muss natürlich für die Standardbasen des [mm] \IR^3 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] mit dem berechneten F lauten: (dafür habe ich ja schließlich das F berechnet!!)
Ich habe berechnet [mm] F(\vektor{x \\ y \\ z})=\vektor{-x-y \\ -x+5y-3z}
[/mm]
[mm] F\vektor{ 1 \\ 0 \\ 0}=\vektor{-1 \\ -1}
[/mm]
[mm] F\vektor{ 0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{-1 \\ 5}
[/mm]
[mm] F\vektor{ 0 \\ 0 \\ 1}=\vektor{0 \\ -3}
[/mm]
[mm] M_E_3^E_2(F)=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\ -1 & 5 & 3 }
[/mm]
Ist es jetzt richtig?
LG heinze
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> Ja, manchmal sollten Mathematik und Denken zusammen spielen
> ;)
Hallo,
es wäre wirklich eine Superidee, das Gehirn auch beim Lösen von Aufgaben eingeschaltet zu lassen.
>
> Es muss natürlich für die Standardbasen des [mm]\IR^3[/mm] und
> [mm]\IR^2[/mm] mit dem berechneten F lauten: (dafür habe ich ja
> schließlich das F berechnet!!)
Genau.
>
> Ich habe berechnet [mm]F(\vektor{x \\
y \\
z})=\vektor{-x-y \\
-x+5y-3z}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{ 1 \\
0 \\
0}=\vektor{-1 \\
-1}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{ 0 \\
1 \\
0}=\vektor{-1 \\
5}[/mm]
>
> [mm]F\vektor{ 0 \\
0 \\
1}=\vektor{0 \\
-3}[/mm]
>
> [mm]M_E_3^E_2(F)=\pmat{ -1 & -1 & 0 \\
-1 & 5 & 3 }[/mm]
>
>
> Ist es jetzt richtig?
Ja.
LG Angela
>
>
> LG heinze
>
>
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> zu dem Link von Angela:
> [mm]\pmat{ -x & -y \\
-x & +5y & -3z }[/mm] soll die zu
> berechnende Abbildungsmatrix darstellen, oder irre ich
> mich?
Hallo,
wie Dir bereits lesduart gesagt hat, irrst Du Dich.
In der Abbildungsmatrix haben x,y,z nichts zu suchen.
Ich habe nicht nachgeguckt, ob es stimmt, aber ich denke mal, daß in dem Thread eher stand, daß
[mm] F(\vektor{x\\y\\z})=$\pmat{ -x-y \\ -x +5y -3z }$.
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 08.01.2012 | | Autor: | yangwar1 |
| Aufgabe | Wir betrachten den Vektorraum [mm] R^3 [/mm] mit der Basis A [mm] =((\pmat{ 1 & 0 & -1 }),(\pmat{ 1 & 2 & 3 }),(\pmat{ 3 & 1 & 0 })
[/mm]
und
den Vekotorraum [mm] R^2 [/mm] mit der Basis B = ((pmat{ 1 & 1 }),pmat{ -2 & 1 }
. Es sei F : [mm] R^3 \to R^2 [/mm] eine lineare Abbildung mit
[mm] M_A^B [/mm] (F) = [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 2 }
[/mm]
Berechnen Sie [mm] F((\pmat{ x & y & z })
[/mm]
für einen beliebigen Vektor [mm] \pmat{ x & y & z } \in R^3, [/mm] sowie die Darstellungsmatrix von F
bezüglich der Standardbasen des [mm] R^3 [/mm] und [mm] R^2. [/mm] |
Berechnung von [mm] F((\pmat{ x & y & z }).
[/mm]
Eigentlich wollte ich den (beliebigen) Vektor [mm] \pmat{ x & y & z } [/mm] mit der Abbildungsmatrix multiplizieren, was aber nicht möglich ist, weil die Anzahl der Spalten dann nicht gleich der Anzahl der Zeilen ist.
Die Darstellungsmatrix hat doch in diesem Fall die Funktion, einen Vektor des dreidimensionalen Raumes in den eines zweidimensionalen Umzuwandeln.
Warum muss man denn dann eine zweispaltige Matrix nehmen?
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> Wir betrachten den Vektorraum [mm]R^3[/mm] mit der Basis A [mm]=((\pmat{ 1 & 0 & -1 }),(\pmat{ 1 & 2 & 3 }),(\pmat{ 3 & 1 & 0 })[/mm]
>
> und
> den Vekotorraum [mm]R^2[/mm] mit der Basis B = ((pmat{ 1 & 1
> }),pmat{ -2 & 1 }
> . Es sei F : [mm]R^3 \to R^2[/mm] eine lineare Abbildung mit
> [mm]M_A^B[/mm] (F) = [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\
1 & 1 & 2 }[/mm]
> Berechnen
> Sie [mm]F((\pmat{ x & y & z })[/mm]
> für einen beliebigen Vektor
> [mm]\pmat{ x & y & z } \in R^3,[/mm] sowie die Darstellungsmatrix
> von F
> bezüglich der Standardbasen des [mm]R^3[/mm] und [mm]R^2.[/mm]
> Berechnung von [mm]F((\pmat{ x & y & z }).[/mm]
Hallo,
die Aufgabe wird dort besprochen, dort findest Du sicher Anregungen zur Lösung.
Die angegebenen Vektoren sollen sicher Spaltenvektoren sein, oder steht das so auf Deinem Übungsblatt?
>
> Eigentlich wollte ich den (beliebigen) Vektor [mm]\pmat{ x & y & z }[/mm]
> mit der Abbildungsmatrix multiplizieren, was aber nicht
> möglich ist, weil die Anzahl der Spalten dann nicht gleich
> der Anzahl der Zeilen ist.
Die Matrix hat 3 Spalten, der Vektor [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] drei Einträge, das Multiplizieren ist also kein Problem - nur es wird falsch!
Wenn Du die Matrix mit [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] multiplizierst, bekommst Du nicht [mm] f(\vektor{x\\y\\z}), [/mm] denn die Darstellungsmatrix "frißt" ja Vektoren, die in Koordinaten bzgl A gegeben sind, und hinten raus kommen solche in Koordinaten bzgl B.
Wenn Du die gegebene Matrix mit [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] multiplizierst, bekommst Du den Funktionswert von [mm] xa_1+ya_2+za_3 [/mm] in Koordinaten bzgl B.
[mm] (A:=(a_1, a_2, a_3))
[/mm]
Du könntest hier so vorgehen, daß Du zunächst die Funktionswerte der Standardbasisvektoren in Koordinaten bzgl der Standardbasis des [mm] \IR^2 [/mm] berechnest.
Schreibe dazu zuerst die Standardbasisvektoren als Linearkombination der Vektoren von A.
Wenn Du diesen Weg wählst, bekommst Du die Darstellungsmatrix bzgl der Standardbasen geschenkt, und wenn Du diese dann mit [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] multiplizierst, hast Du [mm] f(\vektor{x\\y\\z}).
[/mm]
Oder Du arbeitest mit den Transformationsformeln, um die Darstellungsmatri bzgl der Standardbasis zu erhalten und machst dann weiter wie oben.
Oder Du machst es so, wie im anderen Thread vorgeschlagen:
schreibe zunächst [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] als Linearkombination der [mm] a_i [/mm] und berechne unter Ausnutzung der Linearität von f den Funktionswert.
Oder Du mach
> Die Darstellungsmatrix hat doch in diesem Fall die
> Funktion, einen Vektor des dreidimensionalen Raumes in den
> eines zweidimensionalen Umzuwandeln.
> Warum muss man denn dann eine zweispaltige Matrix nehmen?
??? Die Matrix hat drei Spalten.
LG Angela
P.S.: Ich hänge es an den anderen Thread an.
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