Darstellungsmatrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:53 Di 05.01.2010 | | Autor: | blackylk |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung f: [mm] \IR^3 \to \IR^3 [/mm]
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} \to \pmat{ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 7 } *\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}
[/mm]
Berechnen Sie die Darstellungsmatrix von f bezüglich der Basis
[mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0},\vektor{1 \\ 1\\ 1},\vektor{1 \\ 2\\ 3} [/mm] |
Ich hab in Wiki ein Beispiel dazu gefunden, nur dort sind 2 Basen vorgegeben A und B.
In der Aufgabe hab ich nur 1 Basis mit 3 Vektoren. Damit ich weiter komme, muss ich irgendwie A rausbekommen. Ich weiß nur nicht wie. Wäre für jeden kleinen Tipp dankbar.
mfg
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Hallo blackylk,
> Gegeben sei die lineare Abbildung f: [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm]
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} \to \pmat{ 1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6 \\ 3 & 5 & 7 } *\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Darstellungsmatrix von f bezüglich der
> Basis
> [mm]\vektor{1 \\ 0\\ 0},\vektor{1 \\ 1\\ 1},\vektor{1 \\ 2\\ 3}[/mm]
>
> Ich hab in Wiki ein Beispiel dazu gefunden, nur dort sind 2
> Basen vorgegeben A und B.
>
> In der Aufgabe hab ich nur 1 Basis mit 3 Vektoren. Damit
> ich weiter komme, muss ich irgendwie A rausbekommen. Ich
> weiß nur nicht wie. Wäre für jeden kleinen Tipp
> dankbar.
Hier sind die Basen des Urbild- und des Bildraumes dieselben.
Bilde also die Basisvektoren ab mittels der Vorschrift und stelle die Bilder, die du dabei erhältst, als LK der gegebenen Basis dar.
Die Koeffizienten packe als Spalten in die gesuchte Darstellungsmatrix ...
>
> mfg
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:07 Di 05.01.2010 | | Autor: | blackylk |
ah sry, seh grad das ich die Matrix falsch eingetippt habe, müsste so aussehen
[mm] \vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} \to \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 } \cdot{}\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} [/mm]
Und jetzt kommt schon das nächste Problem:
[mm] f\vektor{1 \\ 0\\ 0}=\vektor{1 \\ 3\\ 5}=0* \vektor{1 \\ 0\\ 0}+(-1)* \vektor{1 \\ 1\\ 1}+2* \vektor{1 \\ 2\\ 3}
[/mm]
[mm] f\vektor{1 \\1\\ 1}=\vektor{2 \\ 4\\ 6}=0* \vektor{1 \\ 0\\ 0}+0* \vektor{1 \\ 1\\ 1}+2* \vektor{1 \\ 2\\ 3}
[/mm]
[mm] f\vektor{1 \\ 2\\ 3}=\vektor{3 \\ 5\\ 7}=0* \vektor{1 \\ 0\\ 0}+1* \vektor{1 \\ 1\\ 1}+2* \vektor{1 \\ 2\\ 3}
[/mm]
ist die Matrix also
0 -1 2
0 0 2
0 1 3
> Hier sind die Basen des Urbild- und des Bildraumes
> dieselben.
>
> Bilde also die Basisvektoren ab mittels der Vorschrift und
> stelle die Bilder, die du dabei erhältst, als LK der
> gegebenen Basis dar.
>
> Die Koeffizienten packe als Spalten in die gesuchte
> Darstellungsmatrix ...
> Gruß
>
> schachuzipus
Ich bin mir nicht sicher ob ich verstanden habe, was Sie meinen. War die Woche vor den Ferien Krank und hab die letzten beiden Vorlesungen nicht besucht.
Ich hab es jetzt so wie in Wiki versucht unter der Annahme, das die Basen gleich sind.
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Hallo nochmal,
> ah sry, seh grad das ich die Matrix falsch eingetippt habe,
> müsste so aussehen
>
> [mm]\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3} \to \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 } \cdot{}\vektor{x_1 \\ x_2\\ x_3}[/mm]
Macht nix, das Prozedere ist dasselbe ...
>
>
>
>
> Und jetzt kommt schon das nächste Problem:
>
> [mm]f\vektor{1 \\ 0\\ 0}=\vektor{1 \\ 3\\ 5}=?* \vektor{1 \\ 0\\ 0}+?* \vektor{1 \\ 1\\ 1}+?* \vektor{1 \\ 2\\ 3}[/mm]
>
> Das geht gar nicht auf.
Oh doch, das gibt ein LGS mit 3 Gleichungen in 3 Variablen [mm] $\lambda,\mu,\nu$:
[/mm]
[mm] $\vektor{1\\3\\5}=\lambda\cdot{}\vektor{1\\0\\0}+\mu\cdot{}\vektor{1\\1\\1}+\nu\cdot{}\vektor{1\\2\\3}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
1) [mm] $\lambda+\mu+\nu=1$
[/mm]
2) [mm] $\mu+2\nu=3$
[/mm]
3) [mm] $\mu+3\nu=5$
[/mm]
Wenn du nun von der 3.Gleichung die 2.Gleichung abziehst, ergibt sich [mm] $\nu=2$
[/mm]
Damit (eingesetzt in 2) oder 3)): [mm] $\mu=-1$ [/mm] und schließlich [mm] $\lambda=0$
[/mm]
Probe: [mm] $0\cdot{}\vektor{1\\0\\0}+(-1)\cdot{}\vektor{1\\1\\1}+2\cdot{}\vektor{1\\2\\3}=\vektor{-1\\-1\\-1}+\vektor{2\\4\\6}=\vektor{1\\3\\5}$ [/mm]
Passt!
Die Koeffizienten [mm] $\lambda,\mu,\nu$ [/mm] stopfst du dann in die erste Spalte der Darstellungsmatrix.
>
> Der nächste aber schon.
> [mm]f\vektor{1 \\1\\ 1}=\vektor{2 \\ 4\\ 6}=0* \vektor{1 \\ 0\\ 0}+0* \vektor{1 \\ 1\\ 1}+2* \vektor{1 \\ 2\\ 3}[/mm]
>
> [mm]f\vektor{1 \\ 2\\ 3}=\vektor{3 \\ 5\\ 7}=0* \vektor{1 \\ 0\\ 0}+1* \vektor{1 \\ 1\\ 1}+2* \vektor{1 \\ 2\\ 3}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt beides nicht, du hast beide Bilder [mm] $f\vektor{1 \\1\\ 1}$ [/mm] und [mm] $f\vektor{1 \\ 2\\ 3}$ [/mm] falsch berechnet, damit sind auch die Koeffizienten in den LKen falsch.
Rechne nochmal nach bzw. vor ...
Schaue nochmal nach, wie die Matrixmultiplikation funktioniert ...
>
>
> > Hier sind die Basen des Urbild- und des Bildraumes
> > dieselben.
> >
> > Bilde also die Basisvektoren ab mittels der Vorschrift und
> > stelle die Bilder, die du dabei erhältst, als LK der
> > gegebenen Basis dar.
> >
> > Die Koeffizienten packe als Spalten in die gesuchte
> > Darstellungsmatrix ...
> > Gruß
> >
> > schachuzipus
>
> Ich bin mir nicht sicher ob ich verstanden habe, was Sie
> meinen.
Ui, da komme ich mir ![[old]](/images/smileys/old.gif "[old]") vor, hier sagen wir alle "du" zueinander ...
> War die Woche vor den Ferien Krank und hab die
> letzten beiden Vorlesungen nicht besucht.
> Ich hab es jetzt so wie in Wiki versucht unter der Annahme,
> das die Basen gleich sind.
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
also ich komme auf die Darstellungsmatrix:
[mm] $M=\pmat{0&0&0\\-1&0&2\\2&6&12}$
[/mm]
Vllt. schreibst du doch mal auf, was du für [mm] $f\vektor{1\\1\\1}$ [/mm] und [mm] $f\vektor{1\\2\\3}$ [/mm] raus hast ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:15 Mi 06.01.2010 | | Autor: | blackylk |
[mm] f\vektor{1\\1\\1} [/mm] $ * [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 }
[/mm]
= [mm] \vektor{6\\12\\18}
[/mm]
[mm] f\vektor{1\\2\\3} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 4 & 5 \\ 5 & 6 & 7 }
[/mm]
= [mm] \vektor{14\\26\\38} [/mm]
aufgelöst kommt dann auch wie du schon gesagt hast
$ [mm] M=\pmat{0&0&0\\-1&0&2\\2&6&12} [/mm] $ raus
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| Aufgabe | Sei [mm] M(2;\IR) [/mm] der [mm] \IR-Vektorraum [/mm] der 2x2-Matrizen mit Einträgen in [mm] \IR. [/mm] Gegeben seien die Matrizen
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ -1 & 3 } [/mm] und B= [mm] \pmat{ 2 & 1 \\ 0 & 4 }.
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass die Abbildung
L: [mm] M(2;\IR)\to M(2;\IR)
[/mm]
X [mm] \to [/mm] AXB
linear ist und bestimme die beschreibende Matrix bzgl.
der Basis
[mm] \{\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 1 }\}.
[/mm]
(b)Berechne den Rang dieser Matrix. |
Hier ist mir nicht ganz klar, was der Ausdruck "AXB" bedeutet. Ist damit die Multiplikation beider Matrizen A und B gemeint?
Die beschreibende Matrix bekomme ich doch dann raus, wenn ich die Matrix aus der Multiplikation beider Matrizen A und B (nennen wir diese einfach C) mit den Vektoren aus der Basis multipliziere, dann die Einzelergebnisse als Linearkombination darstelle und [mm] \lambda1,\lambda2, \lambda3 [/mm] und [mm] \lambda4 [/mm] sind dann meine Einträge der Darstellungsmatrix oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi und willkommen hier!
Du solltest nächstes mal am besten einen eigenen Faden eröffnen, damit das alles etwas geordneter ist (obwohl die Themen natürlich zusammenpassen).
Aber zu deiner Frage:
Das X ist nur die Matrix, die in die Funktion gestopft wird.
Also [mm] L(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 })=A*\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 }*B.
[/mm]
Genau, und für die darstellende Matrix bildest du die Matrizen aus der Basis ab, und stellst das Ergebnis wieder aus den 4 Basismatrizen dar. Und die Koeffizienten, die du dann immer erhältst, trägst du als Spalte in die Darstellungsmatrix ein.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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Dass die Matrizen A, X und B multipliziert werden ist dann klar und die weiteren Schritte sind dann auch klar! Aber wie genau kommst du denn darauf, dass du die Matrix
X = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] einsetzen musst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi.
Das X ist kein Multiplikationszeichen, sondern eben die Matrix, die abgebildet werden soll.
Man könnte die Funktion auch als $L(X)=A*X*B$ schreiben.
Teufel
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Das ist mir ofensichtlich klar, aber wie komme ich an die Matrix X? Ohne zu wissen, welche diese ist, kann ich schlecht AXB ausmultiplizieren oder?
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Hallo
X ist irgendeine 2x2-Matrix mit Einträgen in [mm] \IR.. [/mm] wenn du willst, kannst du auch
X = [mm] \pmat{1 & \pi \\ -2.91 & \bruch{1}{\wurzel{11}}} [/mm]
nehmen... ich denke aber, dass Teufel's Beispiel einfacher war (ausserdem benutzt er gerade eine der Basismatrizen, die gegeben sind.. das brauchst du für die Darstellungsmatrix!).
Du hast ja eine Abbildung, die du auf eine bestimmte Eigenschaft überprüfen musst.. X ist in deiner Aufgabe das Element, das abgebildet wird (deine Variabel...)
Ist es klarer? :)
Grüsse, Amaro
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Ok. D.h. also nichts weiter, wie das ich am Besten immer eine Matrix mit den Einträgen aus der Standardbasis nehmen kann, da diese sowieso in der Abbildung enthalten ist? Dann muss ich nur noch multiplizieren und die Darstellungsmatrix und den Rang bestimmen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Do 07.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du musst doch erst zeigen, dass die Abb. linear ist. Schreib mal auf, was das bedeutet, und dann wie du es beweist.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:30 Do 07.01.2010 | | Autor: | Matze3001 |
Also ich habe das jetzt so gemacht,nach den Regeln der Linearität:
L(AXB) = (L(A))X(L(B)) = L(A) X L(B)
[mm] L(\alpha(AXB) [/mm] = [mm] (L(\alpha A))X(L(\alpha [/mm] B)) = [mm] L(\alpha A)XL(\alpha [/mm] B) = [mm] \alpha [/mm] L(A)X [mm] \alpha [/mm] L(B)
ist das korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:43 Fr 08.01.2010 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Also ich habe das jetzt so gemacht,nach den Regeln der
> Linearität:
>
> L(AXB) = (L(A))X(L(B)) = L(A) X L(B)
>
> [mm]L(\alpha(AXB)[/mm] = [mm](L(\alpha A))X(L(\alpha[/mm] B)) = [mm]L(\alpha A)XL(\alpha[/mm]
> B) = [mm]\alpha[/mm] L(A)X [mm]\alpha[/mm] L(B)
>
> ist das korrekt?
Nein.
Deine Abbildung ist ja nicht AXB [mm] \mapsto [/mm] L(AXB), sondern:
L: [mm] M(2x2,\IR) \rightarrow M(2x2,\IR), [/mm] X [mm] \mapsto [/mm] AXB
Also...
L(X+Y) = ... ?
[mm] L(\alpha [/mm] X) = ...?
(Y ist auch [mm] \in M(2x2,\IR))
[/mm]
Grüsse, Amaro
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![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]"){kind=small}
