Darstellungsform < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:17 Di 05.02.2008 | | Autor: | Gaspy |
| Aufgabe | | Für welche komplexen Zahlen z = x + jy gilt Re(z³)=0? |
Habe nichtmal einen Ansatz, bislang dachte ich, bei Re(z)=0 wäre der
Realteil 0, also z = 0 + jy und damit eine rein imaginäre Zahl.
Die Lösung sieht etwa so aus: x³-3xy²
Selbst wenn ich das zweite Binom anwende
(x + jy)³ = x³ + 3x²(jy) + 3x(jy)² + (jy)³ komme ich nicht auf die Lösung.
Bringt es etwas wenn ich die Gleichung so schreibe?
x + jy = [mm] \wurzel[3]{0}
[/mm]
Bin für jeden Tip dankbar, und ich habe diese Frage nur hier gestellt
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Hallo Gaspy!
> Selbst wenn ich das zweite Binom anwende (x + jy)³ = x³ + 3x²(jy) + 3x(jy)² + (jy)³
> komme ich nicht auf die Lösung.
Mach' mit diesem Ansatz mal weiter. Multiplizere die einzelnen Potenzen von $i_$ aus und sortiere.
Es gilt doch: [mm] $i^2 [/mm] \ = \ -1$ sowie [mm] $i^3 [/mm] \ = \ -i$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Di 05.02.2008 | | Autor: | abakus |
Einfaches ist es meiner Meinung nach, die Zahl [mm] z^3 [/mm] in der Form [mm] z^3=r(\cos\phi [/mm] + i [mm] \sin\phi) [/mm] darzustellen. Da der Realteil Null sein soll, entspricht das einer der beiden Formen
[mm] z^3=r* [/mm] i [mm] *\sin\ [/mm] 90° bzw. [mm] z^3=r* [/mm] i [mm] *\sin\ [/mm] 270°.
Das Argument von z selbst kann damit 30°, 150°, 270° oder 90°, 210° , 330° sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:29 Di 05.02.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
ich finde den anderen Ansatz sogar noch besser.
Aus [mm] Re(z^3)=0 [/mm] folgt [mm] z^3=a*i\in i*\IR
[/mm]
also [mm] z=\wurzel[3]{a*i}=\wurzel[3]{i}*\wurzel[3]{a}, [/mm] wobei [mm] \wurzel[3]{a}\in\IR
[/mm]
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Di 05.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Gaspy!
Du kannst auch alternativ die Exponentialdarstellung in Verbindung mit der ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Formel verwenden:
[mm] $$z^3 [/mm] \ = \ [mm] \left(r*e^{\varphi*i} \ \right)^3 [/mm] \ = \ [mm] r^3*e^{3\varphi*i} [/mm] \ = \ [mm] r^3*\left[\cos(3\varphi)+i*\sin(3\varphi)\right]$$
[/mm]
Damit beträgt der Realteil [mm] $Re(z^3) [/mm] \ = \ [mm] r^3*\cos(3\varphi)$ [/mm] .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:27 Di 05.02.2008 | | Autor: | Gaspy |
Vielen Dank für die schnellen Antworten :)
Dann war mein Ansatz ja doch nicht so falsch,
wenn ich x³-3xy² benutze, dann wäre der Realteil 0 bei x=0 und
y= [mm] \pm [/mm] (X/ [mm] (\wurzel{3}))
[/mm]
und bei $ [mm] z^3 [/mm] \ = \ [mm] \left(r\cdot{}e^{\varphi\cdot{}i} \ \right)^3 [/mm] \ = \ [mm] r^3\cdot{}e^{3\varphi\cdot{}i} [/mm] \ = \ [mm] r^3\cdot{}\left[\cos(3\varphi)+i\cdot{}\sin(3\varphi)\right] [/mm] $
wenn r bzw [mm] cos(3\varphi) [/mm] 0 wird
Nochmals vielen Dank an alle
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