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| Aufgabe | Die Ebene [mm] E:\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] r(\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] + [mm] s(\vec{c} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] geht durch die Punkte A,B,C mit den Ortsvektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, [/mm] wobei vorausgesetzt ist, dass [mm] \vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] kein Vielfaches von [mm] \vec{c} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] ist. Ermittle anhand einer Zeichnung, wo die Punkte liegen, für deren Parameterwerte folgendes gilt:
a) r + s = 1
b) r = s
c) 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1
d) 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] 1 und 0 [mm] \le [/mm] s [mm] \le [/mm] 1 |
Hallo,
vielleicht könnte mir jemand bei dieser Aufgabe helfen. Ich habe es soweit verstanden, dass drei Punkte (A,B,C) vorliegen, die eine Ebene aufspannen. Von A ausgehend gibt es zwei Richtungsvektoren [mm] (\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] und [mm] (\vec{c} [/mm] - [mm] \vec{a}), [/mm] die linear unabhängig sind.
Jetzt lassen sich durch r und s Punkte bestimmen, die auf dieser Ebene liegen. Mir ist nicht klar, was man nun in Abhängigkeit von r und s über die Lage der Punkte aussagen kann.
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Gallo
die ersten 2 Gleichungen mal in die Ebenengl. einsetzen, die Klammern auflösen. was siehhst du dann.
ausserdem kannstdu ja auch mal dein papier als die Ebene nehmen, einen Punkt a als anfangspunkt und 2 Punkte b und c willkürlich, nicht auf einer Geraden und dann die Fälle zeichnen.
Also erstmal loslegen, und dann kannst du ja deine Ergebnisse zur Korrektur hier vorlegen.
Gruss leduart
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Ok, bei a) komme ich auf die Gleichung:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] s(\vec{c} [/mm] - [mm] \vec{b})
[/mm]
Demnach müsste der Punkt auf der Geraden [mm] \overline{BC} [/mm] liegen.
Bei der b) komme ich auf:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] r(\vec{b} [/mm] - [mm] \vec{a} [/mm] + [mm] \vec{c} [/mm] - [mm] \vec{a})
[/mm]
Ich würde mal schätzen, man erhält einen Punkt, der zwischen den Strecken [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] liegt, und zu beiden Strecken den gleichen Abstand hat.
Mir ist aber nicht klar, wie ich mir das bei den Ungleichungen vorstellen kann. Bei d) denke ich, dass der Punkt irgendwo im Dreieck ABC liegt. Bei c) kann aber s beliebig gewählt werden, was soll man dann über die Lage aussagen können?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 Sa 24.04.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das zweite ist doch auch ne Geradengl. schreib das genauer auf.
Aufpunkt, Richtung!
die 2 anderen musst du noch begründen. wenn r immer kleiner 1 ist, s beliebig, zeichne das doch mal!
und das Dreieck solltest du auch argumentieren! hast du denn ne Zeichng, gemacht? kannst du jeden Punkt der ebene erreichen? welche nicht?
Gruss leduart
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Eine Zeichnung habe ich mir bereits gemacht.
Zu a)
[mm] g:\vec{x} [/mm] = [mm] \vec{b} [/mm] + [mm] s(\vec{c} [/mm] - [mm] \vec{b})
[/mm]
Der Aufpunkt ist [mm] \vec{b}, [/mm] der Richtungsvektor entspricht [mm] \overline{BC}. [/mm] Somit kann es nur auf dieser Geraden liegen.
Zu b)
[mm] $g:\vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vec{a} [/mm] $ + $ [mm] r(\vec{b} [/mm] $ - $ [mm] \vec{a} [/mm] $ + $ [mm] \vec{c} [/mm] $ - $ [mm] \vec{a}) [/mm] $ oder
[mm] $g:\vec{x} [/mm] $ = $ [mm] \vec{a} [/mm] $ + $ [mm] r(\vec{b} [/mm] $ - $ [mm] \vec{a}) [/mm] $ + $ [mm] r(\vec{c} [/mm] $ - $ [mm] \vec{a}) [/mm] $
Man hat ebenfalls A als Aufpunkt, von dort wird die Strecke [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] zurückgelegt. Da beide Richtungsvektoren den gleichen Parameter haben, sind die Strecken gleich lang.
Der Punkt liegt daher zwischen beiden Geraden [mm] \vec{AB} [/mm] und [mm] \vec{AC}
[/mm]
Zu d)
Das Dreieck ABC ergäbe sich aus der Ebenengleichung mit r=s=1, da man dann den Aufpunkt A mit den Strecken [mm] \overline{AB} [/mm] und [mm] \overline{AC} [/mm] hat. Also müssen r und s [mm] \le [/mm] 1 sein, damit der Punkt im Dreieck liegt.
Sind diese Annahmen soweit richtig?
Zu c)
da r [mm] \ge [/mm] 0, kann der Punkt nicht "rechts" von [mm] \overline{AC} [/mm] liegen, er ist also immer auf der Seite, auf der sich von [mm] \overline{AC} [/mm] aus gesehen der Punkt B befindet. Außerdem kann der Punkt nicht über die Gerade hinaus, die parallel zu [mm] \vec{AC} [/mm] und durch B verläuft. Es würde also eine Art Rechteck mit zwei begrenzten, gegenüberliegenden Seiten (definiert durch [mm] \vec{AB}) [/mm] und zwei unbegrenzt-langen, gegenüberliegenden Seiten entstehen (definiert durch [mm] \vec{AC}), [/mm] worauf der Punkt liegen kann.
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> Eine Zeichnung habe ich mir bereits gemacht.
> Zu a)
> [mm]g:\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{b}[/mm] + [mm]s(\vec{c}[/mm] - [mm]\vec{b})[/mm]
> Der Aufpunkt ist [mm]\vec{b},[/mm]
also eigentlich der Eckpunkt B des Dreiecks ABC !
> der Richtungsvektor entspricht
> [mm]\overline{BC}.[/mm] Somit kann es nur auf dieser Geraden
> liegen.
"diese Gerade" ist also nichts anderes als die Gerade BC
> Zu b)
> [mm]g:\vec{x}=\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a}+\vec{c}-\vec{a})[/mm] oder
> [mm]g:\vec{x}=\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a})+r(\vec{c}-\vec{a})[/mm]
> Man hat ebenfalls A als Aufpunkt, von dort wird die
> Strecke [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{AC}[/mm] zurückgelegt. Da
> beide Richtungsvektoren den gleichen Parameter haben, sind
> die Strecken gleich lang.
das ist falsch, da die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AC} [/mm] nicht gleich lang sein müssen
> Der Punkt liegt daher zwischen beiden Geraden [mm]\vec{AB}[/mm] und
> [mm]\vec{AC}[/mm]
das ist viel zu wenig klar ! (diese Punkte liegen ebenfalls
auf einer ganz bestimmten Geraden)
> Zu d)
> Das Dreieck ABC ergäbe sich aus der Ebenengleichung mit
> r=s=1, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
mit r=s=1 ergibt sich ein Punkt, der nicht im Dreieck ABC liegt !
> da man dann den Aufpunkt A mit den Strecken
> [mm]\overline{AB}[/mm] und [mm]\overline{AC}[/mm] hat. Also müssen r und s
> [mm]\le[/mm] 1 sein, damit der Punkt im Dreieck liegt.
> Sind diese Annahmen soweit richtig?
Nur teilweise richtig. Die Aussage
"Also müssen r und s [mm]\le[/mm] 1 sein, damit der Punkt im Dreieck liegt."
ist zwar richtig, aber sie beschreibt nur eine notwendige,
jedoch nicht hinreichende Bedingung.
> Zu c)
> da r [mm]\ge[/mm] 0, kann der Punkt nicht "rechts" von
> [mm]\overline{AC}[/mm] liegen,
"rechts" und "links" hängen hier davon ab, wie du deine
Skizze gemacht hast - in meiner Skizze ist B "rechts" von AC
(ich könnte aber mein Blatt auch umdrehen ...)
> er ist also immer auf der Seite, auf
> der sich von [mm]\overline{AC}[/mm] aus gesehen der Punkt B
> befindet.
dies ist besser als die obige "links-rechts"-Beschreibung !
> Außerdem kann der Punkt nicht über die Gerade
> hinaus, die parallel zu [mm]\vec{AC}[/mm] und durch B verläuft. Es
> würde also eine Art Rechteck mit zwei begrenzten,
> gegenüberliegenden Seiten (definiert durch [mm]\vec{AB})[/mm] und
> zwei unbegrenzt-langen, gegenüberliegenden Seiten
> entstehen (definiert durch [mm]\vec{AC}),[/mm] worauf der Punkt
> liegen kann.
Für so ein "unendlich langes Rechteck" gibt es einen Namen:
es handelt sich um den Streifen, der durch die Gerade AC und
die dazu parallele Gerade durch B begrenzt wird.
LG Al-Chw.
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Hallo sechsenschreiber,
für diese Aufgabe gäbe es einen etwas anderen Zugang als den,
den du gewählt hast, welcher aus der Aufgabe eine "neue" macht,
die dir aber sehr bekannt vorkommen sollte, falls ihr früher mit
Geradengleichungen in der x-y-Ebene gearbeitet habt.
Die beiden Parameter r und s, die in der Aufgabe vorkommen,
bestimmen in der Ebene des Dreiecks ein r-s-Koordinatensystem
ganz analog zu einem gewohnten x-y-Koordinatensystem.
Einziger Unterschied: die beiden Grundvektoren stehen nicht
notwendigerweise senkrecht zueinander und sind nicht not-
wendigerweise gleich lang (Länge 1). Für die vorliegende
Aufgabe macht es aber gar nichts aus, dass dieses Koordinaten-
system "schief" ist. Die Punkte A,B,C haben im r-s-KS die
Koordinaten A(0/0), B(1/0), C(0/1).
Nun kannst du dir einfach klar machen, welche Punktmengen
in der r-s-Ebene beschrieben werden durch die Gleichungen
a) r+s=1
b) r=s
bzw. durch die Ungleichungssysteme
c) [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le1
[/mm]
d) [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le1 [/mm] und [mm] 0\le [/mm] s [mm] \le1
[/mm]
LG Al-Chw.
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