Darstellung ungerader Zahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mo 07.04.2008 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Ist [mm] $n\in \mathbb{N}$ [/mm] ungerade, so gibt es [mm] $x,y\in\mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $n=x^2-y^2$ [/mm] |
Hallo zusammen,
komme hier irgendwie nicht weiter. Habe versucht zunächst die Darstellung $n=2m+1$ für alle [mm] $m\in\mathbb{N}$ [/mm] zu betrachten. Dann kann ich schreiben [mm] $2m+1=x^2+y^2$ [/mm] und hier komme ich nicht weiter. Vermute, dass ich einen ganz anderen Ansatz wählen muss.
Bin für jeden Hinweis dankbar.
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mo 07.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist die Summe aller ungeraden Zahlen bis zur n.ten?
Gruss leduart
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> Beweisen Sie: Ist [mm]n\in \mathbb{N}[/mm] ungerade, so gibt es
> [mm]x,y\in\mathbb{N}[/mm] mit [mm]n=x^2-y^2[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> komme hier irgendwie nicht weiter. Habe versucht zunächst
> die Darstellung [mm]n=2m+1[/mm] für alle [mm]m\in\mathbb{N}[/mm] zu
> betrachten. Dann kann ich schreiben [mm]2m+1=x^2\red{+}y^2[/mm] und hier
> komme ich nicht weiter.
Moment mal, die Behauptung war von der Form [mm] $n=x^2\red{-}y^2$. [/mm] Diese Form der Behauptung ist leicht zu beweisen. Denn es gilt ja (3. binom. Formel): [mm] $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. [/mm] Hier kann man z.B. $x=m$ und $y=m-1$ setzen, ergibt [mm] $x^2-y^2=(m-(m-1))\cdot (m+(m-1))=1\cdot [/mm] (2m-1)$. Ich denke, dies ist gut genug, denn durch geeignete Wahl von [mm] $m\in \IN$ [/mm] lässt sich so jede ungerade Zahl [mm] $n\in \IN$ [/mm] als [mm] $x^2-y^2$ [/mm] darstellen.
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