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| Aufgabe | Sei p ein reelles Polynom vom Grad n ∈ N.
Zeigen Sie, dass p eine Darstellung
p(x) = (x − [mm] x_{1})^{\nu_{1}} [/mm] · · · (x − [mm] x_{r})^{\nu_{r}} [/mm] q(x), x ∈ R besitzt.
Dabei sind x1, ..., [mm] x_{r} [/mm] die paarweise verschiedenen Nullstellen von p und q ist ein Polynom vom Grad (n − [mm] (\nu_{1} +...+\nu_{r})) [/mm] ∈ {0, ..., n}
mit q(x) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x ∈ R. |
hallo, ich hab mal ne frage zu diesem beweis....
ich weiß, dass die darstellung existiert. (polynomdivision)
in der Vorlesung war diese Aussage (jetzt Aufgabe) eine Folgerung aus dem Satz :
seien p,q Polynome von Grad n bzw. m
also p(x) = [mm] \summe_{k=0}^{2} a_{k} x^{k} [/mm] a [mm] \not= [/mm] 0
und q(x) = [mm] \summe_{k=0}^{2} b_{k} x^{k} [/mm] b [mm] \not= [/mm] 0
Es gelte [mm] p(x_{j}) [/mm] = [mm] g(x_{j}) [/mm] für paarweise verschiedene
[mm] x_{1},.....,x_{k} [/mm] ∈ R , wobei k > max(n,m)
dann folgt: n=m und [mm] a_{j} [/mm] = [mm] b_{j} [/mm] j = 0,....,n
Aber ich hab keinen Ansatz für einen Beweis dazu....
muss ich vielleicht aus diesem Satz meinen Beweis formen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:36 Di 30.10.2007 | | Autor: | koepper |
Hallo,
zeige einfach, daß für jedes Polynom $p$ mit der Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] (mit Polynomdivision) die Darstellung
$p(x) = (x - [mm] x_0) [/mm] * q(x)$ für ein Polynom q möglich ist.
Die Behauptung folgt dann durch rekursive Anwendung dieses Satzes.
Gruß
Will
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und wie kann ich diesen Satz beweisen....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mi 31.10.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Abend,
gib dir ein beliebiges reelles Polynom p mit Nullstelle [mm] $x_0$ [/mm] vor.
Mit Polynomdivision kannst du es darstellen als $p(x) = (x - [mm] x_0) [/mm] * q(x) + c.$
Nun setze [mm] $x_0$ [/mm] ein und es folgt c = 0.
Gruß und gute N8
Will
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