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| Aufgabe 1 | Eine Bank gibt folgendes Angebot für ein Darlehen ab: Der nominale Zinsfuß von 6,5 % p.a. gilt für 5 Jahre (Festschreibungszeit) bei einem Disagio von 5% als fest vereinbart. Das Darlehen ist jährlich mit 1 % der ursprünglichen Darlehensschuld zuzüglich ersparter Zinsen zu tilgen. Darlehensbetrag ist 500.000 .
a) Wie hoch ist die Annuität?
b) Wie hoch ist der Darlehensstand nach Ablauf der Festschreibungsfrist?
c) Wie hoch ist die Effektivverzinsung, wenn am Ende der Festschreibungszeit die Restschuld in einer Summe fällig wird? |
| Aufgabe 2 | Die Bundesobligation der laufenden Serie wird ab dem 22.08.2001 mit 4% p.a. verzinst. A, 04.01.2002 wurden sie zu einem Kurs von 99,45% verkauft. Bis zum 31.12. (einschliesslich) fallen Stückzinsen zu Lasten des Erwerbers an. Die Besonderheit ist, dass die erste Zinszahlung und Kapitalzins am 16.02.2003 erfolgt. Die übrigens Zinszahlungen liegen am 13.02. der Jahre 2004 bis 2007. Zum letzten Zahlungstermin wird die Obligation zurückgezahlt. Bei der Zinsberechnung werden 365 Tage angesetzt.
a) Wie hoch ist unter Berücksichtigung der Stückzinsen der Nominalwert, wenn ein Erwerber am 04.01.2002 einen Betrag von 5500 zur Verfügung hat?
b) Wie hoch sind die Zinsen bei der ersten Zahlung? |
Hallo, ich hoffe man kann mir hier helfen, da ich schon seit Tagen verzweifelt auf der Suche nach den richtigen Lösungen zu oben stehenden Aufgaben bin.
Es handelt sich hier um zwei Aufgaben einer Musterklausur zu Finanzmathe.
Ich habe mich bemüht die Aufgaben selbst zu lösen - ich habe die Aufgaben digital erhalten und es befanden sich Lösungen dabei - von denen ich mir nicht sicher bin, ob sie richtig sind.
Ich poste hier also erstmal meinen Ansatz:
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Aufgabe 1:
a)[mm] Annuität = Tilgung + Zinsen[/mm]
für Jahr 1: [mm]A = (500.000 * 0,01) + (500.000 * 0,065) = 37.500 [/mm]
2: [mm](500.000 * 0,01) + (495.000 * 0,065) = 37.175 [/mm]
3: ...
b) Darlehensstand nach 5 Jahren
[mm]K5 = 500.000 - (5 * Tilgung) = 475.000 [/mm]
Die Lösung die dabei war kam aber auf eine ganz andere Rechnung und Lösung, die ich nach viel suchen immer noch nicht nachvollziehen konnte:
[mm]K_5=K_0-T_1*K_n = K_0-K_0*0,01*(1,065^5-1)/(0,065) = 471.531,80[/mm]
Die ursprüngliche Schuld bleibt doch konstant. Da sich das ursprünglich auf das Gesamtdarlehen bezieht, sehe ich das richtig?
c) eine generelle Frage zum Effektivzins: gibt es dazu eine konkrete Formel? Ich habe das bisher immer so angegangen, dass ich die normale Formel für Kn genutzt habe und dann durch probieren versucht habe verschiedene x-Werte auszuprobieren, bis ich sehr nah dran war. Ist zwar ein großer Aufwand, aber brachte auch eine genäherte Lösung
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Aufgabe 2:
Mein Ansatz:
a)
[mm]22.8. 01- 4.1.02 = 135 Tage[/mm]
Stückzins: [mm](135/365)*4 = 1,479452055 [/mm]%
[mm]8500 = (99,45 + 1,479452055 ) = 100,9294521 [/mm]%
[mm]8500 / 1,009294521 = 100 [/mm]%
[mm]8421,72 = 100[/mm]% [mm] = Nominalwert[/mm]
Das ist mein Ergebnis, während die Lösung auf folgenden Weg kommt:
[mm]100*0,04*(135/365) 1,479 [/mm]%
[mm]99,45+1,479 = 100,929 [/mm]%
[mm]Nominalwert = (8500/100,929)*99,45=8375,44 [/mm]
Der Unterschied ist im Prinzip dass das Ergebnis am Ende nochmal mit 99.45 % multipliziert wird und das kann ich einfach nicht nachvollziehen.
b) Hier verwirrt mich die Aufgabestellung:
Einmal: warum fallen Stückzinsen zu LASTEN und nicht zu GUNSTEN des Erwerbers an? Wenn ja Stückzinsen anfallen und der Obligation zum 4.1. verkauft wird, dürften doch für den Verkäufer keine Zinsen mehr anfallen.
Ist damit etwa der Käufer der Obligation gemeint, der sie am 4.1. erworben hat? Wenn ja, erhält er dann die vorher ausbezahlten Stückzinsen nicht? Sorry, ich habe mir die Aufgabe schon 30 mal durchgelesen, gegoogelt und Finanzmathebücher durchsucht, aber bin keinen Schritt voran gekommen. Wenn ihr mir da helfen könntet wäre ich wirklich sehr dankbar.
Gruß Flow
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:54 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Flow-Wolf,
> Eine Bank gibt folgendes Angebot für ein Darlehen ab: Der
> nominale Zinsfuß von 6,5 % p.a. gilt für 5 Jahre
> (Festschreibungszeit) bei einem Disagio von 5% als fest
> vereinbart. Das Darlehen ist jährlich mit 1 % der
> ursprünglichen Darlehensschuld zuzüglich ersparter Zinsen
> zu tilgen. Darlehensbetrag ist 500.000 .
> a) Wie hoch ist die Annuität?
> b) Wie hoch ist der Darlehensstand nach Ablauf der
> Festschreibungsfrist?
Die Auszahlung eines Darlehens erfolgt nicht zu 100 %, sondern z.B. zu 95 %. Die 5 % behält der Darlehensgeber. 100 % müssen aber trotzdem zurückgezahlt werden.
Ein Disagio ändert am Tilgungsplan prinzipiell nichts, nur die Effektivverzinsung ändert sich. Allerdings erhält man eine niedrigere Auszahlung. Um einen gleich hohen Betrag (100 %) ausgezahlt zu bekommen, muß die nominale Kreditsumme erhöht werden, was den Tilgungsplan natürlich verändert.
Das Disagio ist praktisch eine Gebühr bei Darlehensgewährung. Anders ausgedrückt, eine zusätzliche Zinszahlung am Anfang. Je höher das Disagio, desto niedriger ist die nominale Verzisnung.
Das Darlehen ist jährlich mit 1 % der ursprünglichen Darlehensschuld zuzüglich ersparter Zinsen zu tilgen.
Tilgung:
1 % von 500.000 = 5.000
zuzüglich:
ersparte Zinsen aus Disagio 5 % von 500.000 = 25.000 für 5 Jahre.
Jährlich 5.000 ohne Zinseszins.
Mit Zinseszins:
5.000*[mm]\bruch{1,065^5 -1}{1,065-1}[/mm] = 28.468,20
In 28.468,20 sind an Zinsen enthalten (28.468,20 - 25.000) = 3.468,20
Jährlich enthaltene ersparte Zinsen = 693,64.
Die Annuität setzt sich zusammen aus der Tilung von 5.000 und den Zinsen in Höhe von 693,64. Die Annuität beträgt somit jährlich 5.693,64.
Hier gilt jedoch die Zinszahlung auch als Tilgung.
Der Darlehensstand nach Ablauf der Festschreibungsfrist von 5 Jahren beträgt 500.000 - 28.468,20 = 471.531,80
Jährliche Tilgungsrate 5.693,64 * 5 Jahre = 28.468,20
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:03 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Josef |
Berichtigung
> Hallo Flow-Wolf,
>
>
> > Eine Bank gibt folgendes Angebot für ein Darlehen ab: Der
> > nominale Zinsfuß von 6,5 % p.a. gilt für 5 Jahre
> > (Festschreibungszeit) bei einem Disagio von 5% als fest
> > vereinbart. Das Darlehen ist jährlich mit 1 % der
> > ursprünglichen Darlehensschuld zuzüglich ersparter Zinsen
> > zu tilgen. Darlehensbetrag ist 500.000 .
> > a) Wie hoch ist die Annuität?
> > b) Wie hoch ist der Darlehensstand nach Ablauf der
> > Festschreibungsfrist?
>
>
> Die Auszahlung eines Darlehens erfolgt nicht zu 100 %,
> sondern z.B. zu 95 %. Die 5 % behält der Darlehensgeber.
> 100 % müssen aber trotzdem zurückgezahlt werden.
> Ein Disagio ändert am Tilgungsplan prinzipiell nichts, nur
> die Effektivverzinsung ändert sich. Allerdings erhält man
> eine niedrigere Auszahlung. Um einen gleich hohen Betrag
> (100 %) ausgezahlt zu bekommen, muß die nominale
> Kreditsumme erhöht werden, was den Tilgungsplan natürlich
> verändert.
> Das Disagio ist praktisch eine Gebühr bei
> Darlehensgewährung. Anders ausgedrückt, eine zusätzliche
> Zinszahlung am Anfang. Je höher das Disagio, desto
> niedriger ist die nominale Verzisnung.
>
> Das Darlehen ist jährlich mit 1 % der ursprünglichen
> Darlehensschuld zuzüglich ersparter Zinsen zu tilgen.
>
> Tilgung:
> 1 % von 500.000 = 5.000
>
> zuzüglich:
> ersparte Zinsen aus Disagio 5 % von 500.000 = 25.000 für 5
> Jahre.
> Jährlich 5.000 ohne Zinseszins.
>
> Mit Zinseszins:
> 5.000*[mm]\bruch{1,065^5 -1}{1,065-1}[/mm] = 28.468,20
>
> In 28.468,20 sind an ersparte Zinsen enthalten (28.468,20 - 25.000)
> = 3.468,20
>
> Jährlich enthaltene ersparte Zinsen = 693,64.
>
Die jährliche Zinszahlung beträgt 500.000*0,065 = 32.500
> Die Annuität setzt sich zusammen aus der Tilung von 5.000
> und den ersparten Zinsen in Höhe von 693,64 sowie den Zinszahlungen von 32.500. Die Annuität beträgt somit jährlich 38.193,64.
>
> Der Darlehensstand nach Ablauf der Festschreibungsfrist von
> 5 Jahren beträgt 500.000 - 28.468,20 = 471.531,80
>
> Jährliche Tilgungsrate 5.693,64 * 5 Jahre = 28.468,20
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:04 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Flow-Wolf,
c) eine generelle Frage zum Effektivzins: gibt es dazu eine konkrete Formel? Ich habe das bisher immer so angegangen, dass ich die normale Formel für Kn genutzt habe und dann durch probieren versucht habe verschiedene x-Werte auszuprobieren, bis ich sehr nah dran war. Ist zwar ein großer Aufwand, aber brachte auch eine genäherte Lösung
So mache ich es auch. Das Iterationsverfahren (z.B. Sekantenverfahren oder Newton-Verfahren) ist mir zu aufwendig.
Einfacher geht es aber durch einen ![[]](/images/popup.gif) Online-Rechner
Viele Grüße
Josef
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:09 Sa 28.01.2006 | | Autor: | Josef |
Hallo Flow-Wolf,
> Aufgabe 2:
>
> Mein Ansatz:
> a)
> [mm]22.8. 01- 4.1.02 = 135 Tage[/mm]
> Stückzins: [mm](135/365)*4 = 1,479452055 [/mm]%
>
> [mm]8500 = (99,45 + 1,479452055 ) = 100,9294521 [/mm]%
>
> [mm]8500 / 1,009294521 = 100 [/mm]%
> [mm]8421,72 = 100[/mm]% [mm]= Nominalwert[/mm]
>
> Das ist mein Ergebnis, während die Lösung auf folgenden Weg
> kommt:
>
> [mm]100*0,04*(135/365) 1,479 [/mm]%
> [mm]99,45+1,479 = 100,929 [/mm]%
>
> [mm]Nominalwert = (8500/100,929)*99,45=8375,44 [/mm]
>
> Der Unterschied ist im Prinzip dass das Ergebnis am Ende
> nochmal mit 99.45 % multipliziert wird und das kann ich
> einfach nicht nachvollziehen.
Der Kurs am 4.1.2002 beträgt 99,45 % zuzüglich für Stückzinsen 1,47945 % = gesamter Kurs also 100,929 %. Zu diesem Kurs beträgt der Anspruch des Verkäufers im Kaufzeitpunkt 8.500 .
Also gilt:
100,929 % = 8.500 (Anspruch des Verkäufers) jedoch nur Kurswert von
99,45 % ....= 8.375,44 (Rücknahmewert)
Bitte beachte: Nominalwert = Nennwert.
Bei Schuldverschreibungen wie Anleihen oder festverzinslichen Wertpapieren ist der Nennwert oder Nominalwert der vom Schuldner zu verzinsende und zurückzuzahlende Betrag.
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> b) Hier verwirrt mich die Aufgabestellung:
> Einmal: warum fallen Stückzinsen zu LASTEN und nicht zu
> GUNSTEN des Erwerbers an? Wenn ja Stückzinsen anfallen und
> der Obligation zum 4.1. verkauft wird, dürften doch für den
> Verkäufer keine Zinsen mehr anfallen.
>
> Ist damit etwa der Käufer der Obligation gemeint, der sie
> am 4.1. erworben hat? Wenn ja, erhält er dann die vorher
> ausbezahlten Stückzinsen nicht? Sorry, ich habe mir die
> Aufgabe schon 30 mal durchgelesen, gegoogelt und
> Finanzmathebücher durchsucht, aber bin keinen Schritt voran
> gekommen. Wenn ihr mir da helfen könntet wäre ich wirklich
> sehr dankbar.
>
Stückzins ist der Betrag, den der Käufer eines festverzinslichen Wertpapiers dem Verkäufer als Zinsausgleich für die Zeit zwischen dem letzten Zinstermin und dem Tag des Kaufs bezahlt.
Kauft ein Anleger ein festverzinsliches Wertpapier zwischen zwei Zinsterminen, so erwirbt er damit auch die noch ausstehenden Zinskupons, d.h. er erhält die volle nächste Zinsrate p, muss aber für den abgelaufenen Teil des Zinsjahres dem Verkäufer einen entprechenden Zinsbruchteil, die sog. Stückzinsen erstatten.
Viele Grüße
Josef
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