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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGl Exponentialmatrix
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DGl Exponentialmatrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:15 Fr 25.04.2014
Autor: racy90

Hallo

Ich soll zeigen das [mm] y(t)=e^{At}c [/mm] (mit c [mm] \in \IR [/mm] ^n beliebig) eine Lösung des Differentialgleichungssystems y'(t)=Ay(t) ist.

Die Exponentialmatrixdarstellung bekomme ich ja noch hin aber wie gehts dann weiter

[mm] e^A=\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{n!})A^n= E+A+\bruch{1}{2!}A^2+\bruch{1}{3}A^3 [/mm] +....+..

        
Bezug
DGl Exponentialmatrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:20 Fr 25.04.2014
Autor: fred97


> Hallo
>  
> Ich soll zeigen das [mm]y(t)=e^{At}c[/mm] (mit c [mm]\in \IR[/mm] ^n
> beliebig) eine Lösung des Differentialgleichungssystems
> y'(t)=Ay(t) ist.
>  
> Die Exponentialmatrixdarstellung bekomme ich ja noch hin
> aber wie gehts dann weiter
>  
> [mm]e^A=\summe_{i=0}^{\infty} (\bruch{1}{n!})A^n= E+A+\bruch{1}{2!}A^2+\bruch{1}{3}A^3[/mm]
> +....+..


Es ist doch [mm] \bruch{d}{dt}(e^{At})=A*e^{At} [/mm]

FRED

Bezug
                
Bezug
DGl Exponentialmatrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:16 Fr 25.04.2014
Autor: racy90

Also so:

Y'(t)= [mm] d/dt((E+tA+\bruch{t^2}{2!}A^2+...+)*c) [/mm]
      
= [mm] A*c+tA^2c+\bruch{t^2}{2!}A^3c+..+=\summe_{k=1}^{\infy} \bruch{t^{k-1}}{(k-1)!}A^k*c [/mm]


Andererseits gilt auch das : [mm] A*Y(t)=A*((E+tA+\bruch{t^2}{2}A^2+...)c [/mm]

Somit sind die Ausdrücke ident also ist Y eine Lösung

Bezug
                        
Bezug
DGl Exponentialmatrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 So 27.04.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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