DGLs in DGL 2. Ordnung umwande < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Fr 24.04.2009 | | Autor: | Ines85 |
| Aufgabe | Führen sie dieses System von DGLs von Differentialgleichungen auf eine DGL 2. ordnung zurück und lösen sie diese:
[mm] y_1'(t) [/mm] = [mm] ay_2(t)
[/mm]
[mm] y_2'(t) [/mm] = [mm] by_1(t)
[/mm]
Dabei sind a,b >0 und zur Zeit t=0 sind [mm] y_1(0) [/mm] = [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2(0) [/mm] = [mm] y_2. [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich möchte gerne oben stehende Aufgabe bearbeiten, weiß aber leider nicht genau, wie ich die DGLs in eine DGL 2. ordnung verwandeln soll. Kann mir jemand verraten wie man so was macht?
Schon mal danke für eure Hilfe!
Liebe Grüße,
Ines
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Ohne jetzt tiefergehende Ahnung davon zu haben, würde ich die zweite Gleichung nach [mm] y_{1} [/mm] umstellen und dann in die erste einsetzen:
[mm] y_{1}(t) [/mm] = [mm] \bruch{1}{b}*y_{2}'(t)
[/mm]
Jetzt in erste einsetzen:
[mm] $\left(\bruch{1}{b}*y_{2}'(t)\right)' [/mm] = [mm] a*y_{2}(t)$
[/mm]
[mm] $\gdw \bruch{1}{b}*y_{2}''(t) [/mm] = [mm] a*y_{2}(t)$
[/mm]
Viele Grüße, Stefan.
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Hallo Ines85,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Führen sie dieses System von DGLs von
> Differentialgleichungen auf eine DGL 2. ordnung zurück und
> lösen sie diese:
> [mm]y_1'(t)[/mm] = [mm]ay_2(t)[/mm]
> [mm]y_2'(t)[/mm] = [mm]by_1(t)[/mm]
> Dabei sind a,b >0 und zur Zeit t=0 sind [mm]y_1(0)[/mm] = [mm]y_1[/mm] und
> [mm]y_2(0)[/mm] = [mm]y_2.[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Ich möchte gerne oben stehende Aufgabe bearbeiten, weiß
> aber leider nicht genau, wie ich die DGLs in eine DGL 2.
> ordnung verwandeln soll. Kann mir jemand verraten wie man
> so was macht?
Der Weg, den steppenhahn in diesem Artikel beschrieben hat,
ist schon der richtige.
>
> Schon mal danke für eure Hilfe!
> Liebe Grüße,
> Ines
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mo 27.04.2009 | | Autor: | Ines85 |
| Aufgabe | | Löse nun das eigentlich System von DGLs, d.h. gebe alle Lösungen an. |
Es stellt sich mir die Frage, was ist der Unterschied zwischen den beiden Aufgabenstellungen? Sind die Lösungen die ich bekomme nicht die selben?
Außerdem habe ich noch eine Frage zum Teil 1:
Wenn ich nun die DGL 2. Ordnung aufgestellt habe, dann löse ich die ja mit dem Ansatz
[mm] y_2= c_1 sin(wt_0) [/mm] + [mm] c_2 cos(wt_0)
[/mm]
[mm] y_2'= wc_1cos(wt_0) [/mm] - [mm] wc_2sin(wt_0)
[/mm]
[mm] y_2''= -w^2y_2
[/mm]
Nun muss ich [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] bestimmen und setzte dafür meine Anfangsbedingungen ein. Ich weiß, dass [mm] y_1(0)=y_1 [/mm] und [mm] y_2(0)=y_2 [/mm] ist.
Hier kann ich jetzt aber nur die zweite benutzen, oder?
Also setzte ich das in die erste Zeile ein und erhalte
[mm] y_2=c_1*0 [/mm] + [mm] c_2*1
[/mm]
[mm] y_2=c_2
[/mm]
Ist das richtig? Und wie komme ich jetzt an [mm] c_1? [/mm] Oder ist das beliebig?
Liebe Grüße,
Ines
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Ines85,
> Löse nun das eigentlich System von DGLs, d.h. gebe alle
> Lösungen an.
> Es stellt sich mir die Frage, was ist der Unterschied
> zwischen den beiden Aufgabenstellungen? Sind die Lösungen
> die ich bekomme nicht die selben?
Nun, bei ersterer Aufgabenstellung sollst Du nur das Anfangswertproblem (AWP)
in eine Differentialgleichung 2. Ordnung überführen, ohne dies zu lösen.
Bei dieser Aufgabenstellung löst Du diese DGL 2. Ordnung.
>
> Außerdem habe ich noch eine Frage zum Teil 1:
> Wenn ich nun die DGL 2. Ordnung aufgestellt habe, dann löse
> ich die ja mit dem Ansatz
> [mm]y_2= c_1 sin(wt_0)[/mm] + [mm]c_2 cos(wt_0)[/mm]
> [mm]y_2'= wc_1cos(wt_0)[/mm] -
> [mm]wc_2sin(wt_0)[/mm]
> [mm]y_2''= -w^2y_2[/mm]
>
Bei einer linearen DGL (hier 2 Ordnung) mit konstanten Koeffizienten,
macht man für die Lösungen den Ansatz [mm]y=e^{\lambda t}[/mm]
Beispiel: [mm]y''=k*y[/mm]
Einsetzen in obige DGL liefert: [mm]\lambda^{2}*e^{\lambda t}=k*e^{\lambda t}[/mm]
Daraus ergeben sich die Lösungen in Abhängigkeit von k.
> Nun muss ich [mm]c_1[/mm] und [mm]c_2[/mm] bestimmen und setzte dafür meine
> Anfangsbedingungen ein. Ich weiß, dass [mm]y_1(0)=y_1[/mm] und
> [mm]y_2(0)=y_2[/mm] ist.
> Hier kann ich jetzt aber nur die zweite benutzen, oder?
Diese Anfangsbedingungen gelten für das DGL-System 1. Ordnung.
Da Du daraus eine DGL 2. Ordnung gemacht hast,
haben sich auch die Anfangsbedingungen geändert.
> Also setzte ich das in die erste Zeile ein und erhalte
> [mm]y_2=c_1*0[/mm] + [mm]c_2*1[/mm]
> [mm]y_2=c_2[/mm]
>
> Ist das richtig? Und wie komme ich jetzt an [mm]c_1?[/mm] Oder ist
> das beliebig?
>
> Liebe Grüße,
> Ines
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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