DGL zweiter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:21 Di 25.07.2006 | | Autor: | determinante |
| Aufgabe | Berechnen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung
y'' + 2*y' + 10*y = 2.
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Ok, soweit so gut :)
Wie ich DGLs erster Ordnung löse, ist mir bekannt. Ich gehe einfach die sieben Schritte durch und fertig ists... (also erst Stammfkt von a(x), dann [mm] y_n [/mm] (x), dann [mm] y_s [/mm] (x), dann c(x), und dann y(x) und fertig).
Wie verfahre ich beim Lösen von DGL zweiter Ordnung? Gibt es da einen ähnlichen "Algorithmus" zum Lösen?
Danke für eure Hilfe!
p.s.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:55 Di 25.07.2006 | | Autor: | Flieger |
> Berechnen Sie alle Lösungen der Differentialgleichung
>
> y'' + 2*y' + 10*y = 2.
>
Hallo erstmal,
ja es gib einen Logarithmus, der sogar einfach ist als DGL 1.Ordnung.
Also
1) Man löse die homogene DGL
y''+2y'+10y=0
[mm] k^2+2k+10=0
[/mm]
dann löse dieses mit der p/q-Formel
also
[mm] k_{1,2}=- \bruch{2}{2} \pm \wurzel{\bruch{4}{4}-10 }
[/mm]
[mm] k_{1,2} [/mm] = [mm] -1\pm \wurzel{-9}
[/mm]
nun muss man schauen welcher Fall vorliegt
es gibt drei Stück.
Bei diesem Beispiel ist der Wert negativ unter der Wurzel also
kommen die komplexen Zahlen ins Spiel
[mm] k_{1,2}=-1\pm3j
[/mm]
[mm] k_{1}=-1+3j
[/mm]
[mm] k_{2}=-1-3j
[/mm]
Nun den Ansatz wählen:
[mm] y_{hom.allg.}=e^-1x*(C_{1}*cos(3x)+C_{2}*sin(3x))
[/mm]
2) Suche [mm] y_{p}
[/mm]
Prüfe ob bei deiner Funktion Ressonanz vorliegt
Eine Frage: Hast du nur als Störfunktion S(x)=2 ??
Weil für so eine Funktion fehlt mir der Ansatz.
Hoffe die Hilft das schon mal ein bißchen weiter.
Mfg Flieger
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:02 Di 25.07.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Flieger!
> ja es gib einen Logarithmus, der sogar einfach ist als DGL 1.Ordnung.
Ich nehme mal an, hier meinst Du doch Algorithmus, oder? 
Gruß vom
Roadrunner
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Erstmal danke für die Hilfe, ich hab das jetzt soweit verstanden und weiss nun auch mit der 2 etwas anzufangen ;)
Im Prinzip rechnet man ja [mm] y_h [/mm] wie von dir beschrieben aus. Dazu rechnet man [mm] y_s [/mm] aus mit [mm] \bruch{c}{b}. [/mm]
So kann man dann [mm] y_n [/mm] ausrechnen mit [mm] y_h [/mm] + [mm] y_s [/mm] und hat damit das Ergebnis :)
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