DGL zwei versch. Lösungen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:52 Do 22.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Es geht im eine einfache DGL die so aussieht:
[mm] (x^{2} [/mm] + 3)*y' + 2*x*y = x
Man kann sie lösen, indem man die Gleichung [mm] (x^{2} [/mm] + 3)*y' + 2*x*y = x separiert bzw. löst.
Ich habs mir aber auch so überlegt:
Da [mm] (x^{2} [/mm] + 3)' = 2*x hat die DGL die Form g'*y + y'*g = x
, wobei g(x) = [mm] (x^{2} [/mm] + 3) und y = y(x)
Ich schreibe (wegen Produktformel der Ableitungen) also g'*y + y'*g = (g*y)' = 0 und integriere
-> g*y = x + C
-> y = [mm] \bruch{(x + c(x))}{(x^{2} + 3)}. [/mm] Das wäre doch nun die homogene Lösung.
Jetzt mit variation der Konstanten arbeiten...
Ich komme dann auf c(x)' = x -1 bzw. c(x) = [mm] x^{2}/2 [/mm] - x + C
Schlussendlich gibt mir das: y = y = [mm] \bruch{( x^{2}/2 + C)}{(x^{2} + 3)}
[/mm]
Die Musterlösung mit Separation ist y = 1/2 - [mm] \bruch{1}{2*C(x^{2} + 3)}
[/mm]
Frage: Ist meine Methode falsch? Ist das okay mit der Porduktformel der Ableitungen. Ich weiss nicht ob das korrekt ist. Ich seh den fehler nicht.
Danke und Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Do 22.04.2010 | | Autor: | Doing |
Hallo!
> Hallo,
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> Es geht im eine einfache DGL die so aussieht:
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> [mm](x^{2}[/mm] + 3)*y' + 2*x*y = x
>
> Man kann sie lösen, indem man die Gleichung [mm](x^{2}[/mm] + 3)*y'
> + 2*x*y = x separiert bzw. löst.
> Ich habs mir aber auch so überlegt:
> Da [mm](x^{2}[/mm] + 3)' = 2*x hat die DGL die Form g'*y + y'*g = x
> , wobei g(x) = [mm](x^{2}[/mm] + 3) und y = y(x)
>
> Ich schreibe (wegen Produktformel der Ableitungen) also
> g'*y + y'*g = (g*y)' = 0 und integriere
> -> g*y = x + C
>
> -> y = [mm]\bruch{(x + c(x))}{(x^{2} + 3)}.[/mm] Das wäre doch nun
> die homogene Lösung.
>
> Jetzt mit variation der Konstanten arbeiten...
>
> Ich komme dann auf c(x)' = x -1 bzw. c(x) = [mm]x^{2}/2[/mm] - x +
> C
> Schlussendlich gibt mir das: y = y = [mm]\bruch{( x^{2}/2 + C)}{(x^{2} + 3)}[/mm]
>
> Die Musterlösung mit Separation ist y = 1/2 -
> [mm]\bruch{1}{2*C(x^{2} + 3)}[/mm]
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> Frage: Ist meine Methode falsch? Ist das okay mit der
> Porduktformel der Ableitungen. Ich weiss nicht ob das
> korrekt ist. Ich seh den fehler nicht.
Deine Lösung ist mit der Musterlösung identisch, wenn du 3-C=1/C' setzt. Darüber hinaus gibt es keinen Grund über die homogene Gleichung zu gehen; du kannst die DGL direkt komplett integrieren, und erhälst sofort die Lösung.
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> Danke und Gruss
>
Gruß,
Doing
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 Do 22.04.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Das sind gute Nachrichten. Danke...
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