DGL, y_1 bekannt < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | $$L(y) = [mm] (2x+x^2)y'' [/mm] - 2(1+x)y' + 2y = 0$$
Bekannt ist eine Lösung: $w(x) = [mm] x^2$ [/mm] |
In der Aufgabe ist irgendwo ein Fehler, ich sitze seit 2 Tagen dran und finde ihn einfach nicht. Wenn ich mein Ergebnis in die DGL einsetzt kommt aber nunmal nicht 0 raus... Vielleicht findet ihn jemand mit etwas "Abstand" zu der Aufgabe...
$w(x) = [mm] x^2$, [/mm] also erhält man die allgeime Lösung aus $y(x) = v(x) [mm] \cdot w(x)$\\
[/mm]
$y'=v'w+vw' = [mm] v'x^2+v\cdot 2x$\\
[/mm]
$y''=v''w+2v'w'+vw'' = [mm] v''\cdot x^2+4v'x+2v$\\
[/mm]
$L(vw) = [mm] (2x+x^2)(v''x^2+4v'x+2v) [/mm] - [mm] (2+2x)(v'x^2+2vx) [/mm] + [mm] 2vx^2 =$\\
[/mm]
[mm] $2x^3v''+8x^2v'+4vx+x^4v''+4x^3v'+2x^2v-2x^2v'-4xv-2x^3v'-4x^2v+2x^2v=$\\
[/mm]
$= [mm] v''(2x^3+x^4) [/mm] + [mm] v'(8x^2+4x^3-2x^2-2x^3) [/mm] + [mm] v(4x+2x^2-4x-4x^2+2x^2) =$\\
[/mm]
[mm] $=v''(x^4+2x^3) [/mm] + [mm] v'(2x^3+6x^2) =0\\
[/mm]
Dann gleich mal noch [mm] $x^2$ [/mm] rauskürzen und $v' = u$ wählen ergibt: [mm] $$u'(x^2+2x)+u(2x+6) [/mm] = 0$$
Diese DGL gilt es nun zu lösen, mittels Trennung der Variablen, also:
[mm] $\int \frac{1}{u} [/mm] du = [mm] -\int \frac{2x+6}{x^2+2} [/mm] dx$
auf der rechten Seite Partialbruchzerlegung durchführen: [mm] $\frac{2x+6}{x(x+2)} [/mm] = [mm] \frac{3}{x} [/mm] - [mm] \frac{1}{x+2}$\\
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \int \frac{1}{u} [/mm] du = [mm] -(\int \frac{3}{x} [/mm] dx - [mm] \int \frac{1}{x+2} dx)$\\
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow \ln [/mm] u = [mm] -(3\ln [/mm] x- [mm] \ln(x+2))$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow e^{\ln u} [/mm] = [mm] -(e^{3\ln x} [/mm] - [mm] e^{\ln(x+2)})$\\
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow [/mm] u = [mm] -x^3+x+2$
[/mm]
Resubstitution: $v = [mm] \int [/mm] u = [mm] \int (-x^3 [/mm] + x + 2) dx = [mm] -\frac{x^4}{4} [/mm] + [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] + 2x$
Damit erhalte ich als Ergebnis:
$$y(x) = v [mm] \cdot [/mm] w = [mm] (-\frac{x^4}{4} [/mm] + [mm] \frac{x^2}{2} [/mm] + 2x) [mm] \cdot x^2 [/mm] = [mm] -\frac{x^6}{4} [/mm] + [mm] \frac{x^4}{2} [/mm] + [mm] 2x^3$$
[/mm]
Maple spuckt mir für die DGL der Aufgabenstellung folgendes Ergebnis aus: $y(x) = [mm] c_1x^2+c_2(1+x)$
[/mm]
Wo ist der Fehler?
|
|
| |
|
Hallo GreatBritain,
> [mm]L(y) = (2x+x^2)y'' - 2(1+x)y' + 2y = 0[/mm]
> Bekannt ist eine
> Lösung: [mm]w(x) = x^2[/mm]
> In der Aufgabe ist irgendwo ein
> Fehler, ich sitze seit 2 Tagen dran und finde ihn einfach
> nicht. Wenn ich mein Ergebnis in die DGL einsetzt kommt
> aber nunmal nicht 0 raus... Vielleicht findet ihn jemand
> mit etwas "Abstand" zu der Aufgabe...
> [mm]w(x) = x^2[/mm], also erhält man die allgeime Lösung aus [mm]y(x) = v(x) \cdot w(x)[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]y'=v'w+vw' = v'x^2+v\cdot 2x[/mm][mm] \\[/mm]
> [mm]y''=v''w+2v'w'+vw'' = v''\cdot x^2+4v'x+2v[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]L(vw) = (2x+x^2)(v''x^2+4v'x+2v) - (2+2x)(v'x^2+2vx) + 2vx^2 =[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]2x^3v''+8x^2v'+4vx+x^4v''+4x^3v'+2x^2v-2x^2v'-4xv-2x^3v'-4x^2v+2x^2v=[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]= v''(2x^3+x^4) + v'(8x^2+4x^3-2x^2-2x^3) + v(4x+2x^2-4x-4x^2+2x^2) =[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]$=v''(x^4+2x^3)[/mm] + [mm]v'(2x^3+6x^2) =0\\[/mm]
>
> Dann gleich mal noch [mm]$x^2$[/mm] rauskürzen und $v' = u$ wählen
> ergibt: [mm]u'(x^2+2x)+u(2x+6) = 0[/mm]
> Diese DGL gilt es nun zu
> lösen, mittels Trennung der Variablen, also:
>
> [mm]\int \frac{1}{u} du = -\int \frac{2x+6}{x^2+2} dx[/mm]
> auf der
> rechten Seite Partialbruchzerlegung durchführen:
> [mm]\frac{2x+6}{x(x+2)} = \frac{3}{x} - \frac{1}{x+2}[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \int \frac{1}{u} du = -(\int \frac{3}{x} dx - \int \frac{1}{x+2} dx)[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow \ln u = -(3\ln x- \ln(x+2))[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow e^{\ln u} = -(e^{3\ln x} - e^{\ln(x+2)})[/mm][mm] \\[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow u = -x^3+x+2[/mm]
Hier ist der Fehler schon passiert:
[mm]e^{\ln u} = -(e^{3\ln x} - e^{\ln(x+2)})=e^{\ln\left(x+2\right)}-e^{3*\ln\left(x\right)}[/mm]
[mm]\Rightarrow u = \bruch{x+2}{x^{3}}[/mm]
>
> Resubstitution: [mm]v = \int u = \int (-x^3 + x + 2) dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 2x[/mm]
>
> Damit erhalte ich als Ergebnis:
> [mm]y(x) = v \cdot w = (-\frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + 2x) \cdot x^2 = -\frac{x^6}{4} + \frac{x^4}{2} + 2x^3[/mm]
>
> Maple spuckt mir für die DGL der Aufgabenstellung
> folgendes Ergebnis aus: [mm]y(x) = c_1x^2+c_2(1+x)[/mm]
>
> Wo ist der Fehler?
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
>
> Hier ist der Fehler schon passiert:
>
> [mm]e^{\ln u} = -(e^{3\ln x} - e^{\ln(x+2)})=e^{\ln\left(x+2\right)}-e^{3*\ln\left(x\right)}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow u = \bruch{x+2}{x^{3}}[/mm]
>
Danke  hatte schon befürchtet, dass es an irgendwelchen ln / e-Funktion Rechenregeln liegt...
Ich komme nun auf:
$v = [mm] -(\frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2})$
[/mm]
[mm] $$\Rightarrow [/mm] y(x) = v [mm] \cdot [/mm] w = [mm] -(\frac{1}{x} [/mm] + [mm] \frac{1}{x^2}) \cdot x^2 [/mm] = -(x+1)$$
Aber
> > Maple spuckt mir für die DGL der Aufgabenstellung
> > folgendes Ergebnis aus: [mm]y(x) = c_1x^2+c_2(1+x)[/mm]
und das verwirrt mich nun etwas. Denn ich dachte, bei einer bekannten Lösung $w(x)$ erhalte ich mit $y(x) = v(x) [mm] \cdot [/mm] w(x)$ die ALLGEMEINE LÖSUNG (so steht es in meinen Vorlesungsunterlagen).
Meine Allgemeine Lösung ist dementsprechend $y(x) = -(x+1)$
Maple hingegen addiert "meine" allgemeine Lösung zu der bereits bekannten Lösung [mm] $x^2$ [/mm] - warum? Was ist denn nun die allgemeine Lösung?
Oje - hab ich mein Problem überhaupt verständlich machen können...?
Danke & Gruß, GB
|
|
|
| |
|
Hallo GreatBritain,
> >
> > Hier ist der Fehler schon passiert:
> >
> > [mm]e^{\ln u} = -(e^{3\ln x} - e^{\ln(x+2)})=e^{\ln\left(x+2\right)}-e^{3*\ln\left(x\right)}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow u = \bruch{x+2}{x^{3}}[/mm]
> >
>
> Danke hatte schon befürchtet, dass es an irgendwelchen
> ln / e-Funktion Rechenregeln liegt...
>
> Ich komme nun auf:
> [mm]v = -(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})[/mm]
> [mm]\Rightarrow y(x) = v \cdot w = -(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) \cdot x^2 = -(x+1)[/mm]
>
> Aber
>
> > > Maple spuckt mir für die DGL der Aufgabenstellung
> > > folgendes Ergebnis aus: [mm]y(x) = c_1x^2+c_2(1+x)[/mm]
Nun, wenn [mm]-\left(1+x\right)[/mm] eine Lösung der DGL ist,
dann auch [mm]\left(1+x\right)[/mm].
>
> und das verwirrt mich nun etwas. Denn ich dachte, bei einer
> bekannten Lösung [mm]w(x)[/mm] erhalte ich mit [mm]y(x) = v(x) \cdot w(x)[/mm]
> die ALLGEMEINE LÖSUNG (so steht es in meinen
> Vorlesungsunterlagen).
> Meine Allgemeine Lösung ist dementsprechend [mm]y(x) = -(x+1)[/mm]
>
> Maple hingegen addiert "meine" allgemeine Lösung zu der
> bereits bekannten Lösung [mm]x^2[/mm] - warum? Was ist denn nun die
> allgemeine Lösung?
Wenn [mm]v\left(x\right)[/mm] und [mm]w\left(x\right)[/mm] zwei linear unabhängige Lösungen der DGL sind,
dann ist auch jede Linearkombination eine Lösung der DGL.
Daher ergibt sich die allgemeine Lösung einer DGL 2. Ordnung zu:
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*v\left(x\right)+c_{2}*w\left(x\right)[/mm]
> Oje - hab ich mein Problem überhaupt verständlich machen
> können...?
>
> Danke & Gruß, GB
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
> > [mm]v = -(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})[/mm]
> > [mm]\Rightarrow y(x) = v \cdot w = -(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) \cdot x^2 = -(x+1)[/mm]
>
> >
> > Aber
> >
> > > > Maple spuckt mir für die DGL der Aufgabenstellung
> > > > folgendes Ergebnis aus: [mm]y(x) = c_1x^2+c_2(1+x)[/mm]
>
>
> Nun, wenn [mm]-\left(1+x\right)[/mm] eine Lösung der DGL ist,
> dann auch [mm]\left(1+x\right)[/mm].
>
Das war mir sogar ausnahmsweise klar 
>
> >
> > und das verwirrt mich nun etwas. Denn ich dachte, bei einer
> > bekannten Lösung [mm]w(x)[/mm] erhalte ich mit [mm]y(x) = v(x) \cdot w(x)[/mm]
> > die ALLGEMEINE LÖSUNG (so steht es in meinen
> > Vorlesungsunterlagen).
> > Meine Allgemeine Lösung ist dementsprechend [mm]y(x) = -(x+1)[/mm]
>
> >
> > Maple hingegen addiert "meine" allgemeine Lösung zu der
> > bereits bekannten Lösung [mm]x^2[/mm] - warum? Was ist denn nun die
> > allgemeine Lösung?
>
>
> Wenn [mm]v\left(x\right)[/mm] und [mm]w\left(x\right)[/mm] zwei linear
> unabhängige Lösungen der DGL sind,
> dann ist auch jede Linearkombination eine Lösung der
> DGL.
>
Aber die Multiplikation von $v(x), w(x)$ ist doch keine Linearkombination der beiden? Was Maple ausspuckt ist ja gerade $y(x) = c_1w(x) + [mm] c_2v(x)\cdot [/mm] w(x)$, und das wiederum ist ja gerade KEINE Linearkombination zweier linear unabhängiger Lösungen?!?
Sorry, ich scheine irgendwie SEHR auf dem schlauch zu stehen...
> Daher ergibt sich die allgemeine Lösung einer DGL 2.
> Ordnung zu:
>
> [mm]y\left(x\right)=c_{1}*v\left(x\right)+c_{2}*w\left(x\right)[/mm]
>
Gruß GB
|
|
|
| |
|
Hallo GreatBritain,
> > > [mm]v = -(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2})[/mm]
> > > [mm]\Rightarrow y(x) = v \cdot w = -(\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) \cdot x^2 = -(x+1)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Aber
> > >
> > > > > Maple spuckt mir für die DGL der Aufgabenstellung
> > > > > folgendes Ergebnis aus: [mm]y(x) = c_1x^2+c_2(1+x)[/mm]
> >
> >
> > Nun, wenn [mm]-\left(1+x\right)[/mm] eine Lösung der DGL ist,
> > dann auch [mm]\left(1+x\right)[/mm].
> >
>
> Das war mir sogar ausnahmsweise klar
>
> >
> > >
> > > und das verwirrt mich nun etwas. Denn ich dachte, bei einer
> > > bekannten Lösung [mm]w(x)[/mm] erhalte ich mit [mm]y(x) = v(x) \cdot w(x)[/mm]
> > > die ALLGEMEINE LÖSUNG (so steht es in meinen
> > > Vorlesungsunterlagen).
> > > Meine Allgemeine Lösung ist dementsprechend [mm]y(x) = -(x+1)[/mm]
>
> >
> > >
> > > Maple hingegen addiert "meine" allgemeine Lösung zu der
> > > bereits bekannten Lösung [mm]x^2[/mm] - warum? Was ist denn nun die
> > > allgemeine Lösung?
> >
> >
> > Wenn [mm]v\left(x\right)[/mm] und [mm]w\left(x\right)[/mm] zwei linear
> > unabhängige Lösungen der DGL sind,
> > dann ist auch jede Linearkombination eine Lösung der
> > DGL.
> >
>
> Aber die Multiplikation von [mm]v(x), w(x)[/mm] ist doch keine
> Linearkombination der beiden? Was Maple ausspuckt ist ja
> gerade [mm]y(x) = c_1w(x) + c_2v(x)\cdot w(x)[/mm], und das
> wiederum ist ja gerade KEINE Linearkombination zweier
> linear unabhängiger Lösungen?!?
Natürlich hast Du recht, daß v keine Lösung der DGL ist.
Erinnern wir uns:
Für die zweite Lösung wurde der Ansatz [mm]y_{2}\left(x\right)=v\left(x\right)*w\left()x\right)[/mm] gewählt.
Damit ergibt sich die Lösung der DGL zu:
[mm]y\left(x\right)=c_{1}*w\left(x\right)+c_{2}*v\left(x\right)*w\left(x\right)[/mm]
> Sorry, ich scheine irgendwie SEHR auf dem schlauch zu
> stehen...
>
> > Daher ergibt sich die allgemeine Lösung einer DGL 2.
> > Ordnung zu:
> >
> >
> [mm]y\left(x\right)=c_{1}*v\left(x\right)+c_{2}*w\left(x\right)[/mm]
> >
>
> Gruß GB
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
DANKE - jetzt hats *klick* gemacht
Gruß GB
|
|
|
|
