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| Aufgabe | | [mm] y'*(y^2+1)=x^2+1 [/mm] |
Hallo,
obige Aufgabe habe ich zuerst nach y' aufgelöst:
[mm] \gdw y'=\bruch{x^2+1}{y^2+1}
[/mm]
[mm] \to \bruch{dy}{dx}=\underbrace{(x^2+1)}_{=g(x)}*\underbrace{\bruch{1}{y^2+1}}_{=h(y)}
[/mm]
[mm] \to\integral{(y^2+1)dy}=\integral{(x^2+1)dx}
[/mm]
[mm] \to 1/3*y^3+y=1/3*x^3+x+c
[/mm]
wie kann ich das nun gescheit nach y auflösen?
bei dem cas wxmaxima wird dies als lösung ausgespuckt:
[mm] $$y=\left( -\frac{\sqrt{3}\,i}{2}-\frac{1}{2}\right) \,{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}-\frac{\frac{\sqrt{3}\,i}{2}-\frac{1}{2}}{{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}},
[/mm]
[mm] y=\left( \frac{\sqrt{3}\,i}{2}-\frac{1}{2}\right) \,{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}-\frac{-\frac{\sqrt{3}\,i}{2}-\frac{1}{2}}{{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}},
[/mm]
[mm] y={\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}}]$$
[/mm]
was mir jedoch ein wenig umfangreich erscheint.
Gibt es einen Trick bei der Aufgabe?
Danke und Gruß,
Fencheltee
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Di 19.05.2009 | | Autor: | abakus |
> [mm]y'*(y^2+1)=x^2+1[/mm]
Hallo,
ich sehe da so, dass diese Gleichung offensichtlich erfüllt ist, wenn
y=x
und y'=1 gilt.
Also ist die Funktion y=f(x)=x schon mal eine Lösung.
Gruß Abakus
> Hallo,
> obige Aufgabe habe ich zuerst nach y' aufgelöst:
> [mm]\gdw y'=\bruch{x^2+1}{y^2+1}[/mm]
> [mm]\to \bruch{dy}{dx}=\underbrace{(x^2+1)}_{=g(x)}*\underbrace{\bruch{1}{y^2+1}}_{=h(y)}[/mm]
>
> [mm]\to\integral{(y^2+1)dy}=\integral{(x^2+1)dx}[/mm]
> [mm]\to 1/3*y^3+y=1/3*x^3+x+c[/mm]
> wie kann ich das nun gescheit
> nach y auflösen?
> bei dem cas wxmaxima wird dies als lösung ausgespuckt:
> [mm][/mm][mm] y=\left( -\frac{\sqrt{3}\,i}{2}-\frac{1}{2}\right) \,{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}-\frac{\frac{\sqrt{3}\,i}{2}-\frac{1}{2}}{{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}},[/mm]
>
> [mm]y=\left( \frac{\sqrt{3}\,i}{2}-\frac{1}{2}\right) \,{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}-\frac{-\frac{\sqrt{3}\,i}{2}-\frac{1}{2}}{{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}},[/mm]
>
> [mm]y={\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}-\frac{1}{{\left( \frac{\sqrt{{x}^{6}+6\,{x}^{4}+6\,\%c\,{x}^{3}+9\,{x}^{2}+18\,\%c\,x+9\,{\%c}^{2}+4}}{2}+\frac{{x}^{3}+3\,x+3\,\%c}{2}\right) }^{\frac{1}{3}}}][/mm][mm][/mm]
>
> was mir jedoch ein wenig umfangreich erscheint.
> Gibt es einen Trick bei der Aufgabe?
> Danke und Gruß,
> Fencheltee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Di 19.05.2009 | | Autor: | fencheltee |
Die Lösung erschien mir wohl zu trivial, danke 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Di 19.05.2009 | | Autor: | Martinius |
sorry, war überflüssig.
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| Aufgabe | a) y'''-y''-y'+y=0
b) y'''-y''-y'+1=0 |
Hallo,
aufgabe a) hab ich so gelöst:
charakteristisches gleichung erstellt:
[mm] \alpha^3 -\alpha^2 -\alpha [/mm] +1=0
[mm] \gdw (\alpha-1)^2*(\alpha+1)=0
[/mm]
daraus folgen dann die lösungen:
[mm] y_H=c_1*e^x+c_2*x*e^x+c_3*e^{-x}
[/mm]
die frage ist nun, wie ich bei der b) verfahre? +1 auf die andere seite bringen und als störfunktion auffassen? doch das führt scheinbar auch zu nix...
Danke und Gruß,
Fencheltee
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
