DGL mit Randbedingung < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Mi 26.03.2008 | | Autor: | yuffie |
| Aufgabe | DGL eines Balkens der Länge l lautet (a(x)y´´)´´ =f(x);
dabei beschreibt die Fkt a(x) die Materialeigenschaft- insbesondere die Querschnittsgestaltung- über der Längskoordinate x mit 0<x<l.
Es gelte a(x)=A-B(2x-l)² mit A>Bl² und f(x) identisch 1. Bestimmen sie dieses Problem für die Randbedingeungen:
y(0)=y(l)=0
y´(0)=y´´(l)=0
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
ICh habe hier zwei Randbedingungen, wie kann ich diese DGL lösen. Leider kenne ich nur die üblichen verfahren, mit Anfgangswertproblemen. Hier weiß ich nun nicht wie ich dieses Problem umschreibe und zu einer Lsg zu kommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:39 Mi 26.03.2008 | | Autor: | abakus |
> DGL eines Balkens der Länge l lautet (a(x)y´´)´´ =f(x);
> dabei beschreibt die Fkt a(x) die Materialeigenschaft-
> insbesondere die Querschnittsgestaltung- über der
> Längskoordinate x mit 0<x<l.
> Es gelte a(x)=A-B(2x-l)² mit A>Bl² und f(x) identisch 1.
> Bestimmen sie dieses Problem für die Randbedingeungen:
> y(0)=y(l)=0
> y´(0)=y´´(l)=0
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ICh habe hier zwei Randbedingungen, wie kann ich diese DGL
> lösen. Leider kenne ich nur die üblichen verfahren, mit
> Anfgangswertproblemen. Hier weiß ich nun nicht wie ich
> dieses Problem umschreibe und zu einer Lsg zu kommen.
Hallo,
ich habe hier wenig Ahnung. Aber bringt es vielleicht mehr Klarheit, wenn du die Klammer der linken Seite mit der Produktregel zweimal ableitest?
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:27 Mi 26.03.2008 | | Autor: | yuffie |
ja das habe ich nun probiert. mir wurde auch empfohlen runge-kutta zu verwenden mit den Bedingungen y´(x); y´´(x); a(x)y´´(x) ; (a(x)y´´(x))´
stimmen diese bedingungen? und wie verwende ich sie zu meinem beispiel,
ist y´=0 und y´´=0 und habe dann nur noch 0=f(x)/a(x) und y´´´=(f-a´(x)*y´´)/a(x)
wie muss ich nun weiter vorgehen, damit ich mit runge -kutta das gleichungssystem lösen kann?
nehme gerne auch hilfe durch matlab an, falls es dort besser zu lösen geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 26.03.2008 | | Autor: | yuffie |
ja das habe ich nun probiert. mir wurde auch empfohlen runge-kutta zu verwenden mit den Bedingungen y´(x); y´´(x); a(x)y´´(x) ; (a(x)y´´(x))´
stimmen diese bedingungen? und wie verwende ich sie zu meinem beispiel,
ist y´=0 und y´´=0 und habe dann nur noch 0=f(x)/a(x) und y´´´=(f-a´(x)*y´´)/a(x)
wie muss ich nun weiter vorgehen, damit ich mit runge -kutta das gleichungssystem lösen kann?
nehme gerne auch hilfe durch matlab an, falls es dort besser zu lösen geht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mi 26.03.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> DGL eines Balkens der Länge l lautet (a(x)y´´)´´ =f(x);
> dabei beschreibt die Fkt a(x) die Materialeigenschaft-
> insbesondere die Querschnittsgestaltung- über der
> Längskoordinate x mit 0<x<l.
> Es gelte a(x)=A-B(2x-l)² mit A>Bl² und f(x) identisch 1.
> Bestimmen sie dieses Problem für die Randbedingeungen:
> y(0)=y(l)=0
> y´(0)=y´´(l)=0
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> ICh habe hier zwei Randbedingungen, wie kann ich diese DGL
> lösen. Leider kenne ich nur die üblichen verfahren, mit
> Anfgangswertproblemen. Hier weiß ich nun nicht wie ich
> dieses Problem umschreibe und zu einer Lsg zu kommen.
Du hast vier Randbedingungen, denn es ist eine DGL 4. Ordnung.
Da f(x) identisch 1 ist, kannst du direkt zweimal integrieren:
[mm] a(x) y''(x) = \bruch{1}{2}x^2+c_1x+c_2 [/mm],
wobei sich die Konstanten aus den Randbedingungen ergeben. Die vierte Randbedingung $y''(l)=0$ kannst du direkt einsetzen; da [mm] $a(l)=A-Bl^2>0$ [/mm] ist ergibt sich für x=l:
[mm] 0 = \bruch{1}{2}x^2+c_1x+c_2 \gdw c_2 = -\bruch{1}{2}l^2-c_1l[/mm],
oder:
[mm] a(x) y''(x) = \bruch{1}{2}(x^2-l^2) +c_1(x-l) [/mm].
Jetzt kannst du noch überprüfen, dass $a(x)$ für [mm] $0\le x\le [/mm] l$ größer als 0 ist. Daher kannst du durch a(x) teilen:
[mm] y''(x) = \bruch{\bruch{1}{2}(x^2-l^2) +c_1(x-l)}{a(x)} [/mm].
Die rechte Seite ist eine rationale Funktion, die du nur noch zweimal integrieren musst. Die entstehenden Konstanten bestimmst du zusammen mit [mm] $c_1$ [/mm] aus den übrigen drei Randbedingungen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:44 Mo 31.03.2008 | | Autor: | yuffie |
Hallo,
vielen Dank für diese Antwort. Die hat mir sehr geholfen.
Dein weiterer Lösungvorschlag leuchtet mir sehr ein, aber ist es an dieser stelle nicht angebracht eine numerische Betrachtung durchzuführen?
ich versuche hier einen Ansatz über Runge-Kutta in Matlab durchzufüren um die Konstanten zuberechnen und x. Da ich aber noch ein Optimierungsproblem habe, stellt sich mir die Frage, wie kann ich bei Runge-Kutta meine Variablen A und B, die möglichst klein werden soll einbeziehen? Ich habe bis jetzt nur Programme gehabt, die Konstanten hatten, aber keine Optimierunsprobleme.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:41 Di 01.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Dein weiterer Lösungvorschlag leuchtet mir sehr ein, aber
> ist es an dieser stelle nicht angebracht eine numerische
> Betrachtung durchzuführen?
Schwer zu sagen. Mein CAS (Maxima) hat mir eine geschlossene Darstellung der Lösung vorgeworfen, die allerdings über etliche Zeilen geht. Ich habe mir dann nicht mehr die Mühe gemacht, nach einer einfacheren Form zu suchen.
Wenn dich nur Zahlenwerte interessieren, bist du mit einer numerischen Lösungsmethode vermutlich besser bedient.
> ich versuche hier einen Ansatz über Runge-Kutta in Matlab
> durchzufüren um die Konstanten zuberechnen und x. Da ich
> aber noch ein Optimierungsproblem habe, stellt sich mir die
> Frage, wie kann ich bei Runge-Kutta meine Variablen A und
> B, die möglichst klein werden soll einbeziehen? Ich habe
> bis jetzt nur Programme gehabt, die Konstanten hatten, aber
> keine Optimierunsprobleme.
Verstehe ich das richtig: Du suchst eine Lösung der DGL, die eine bestimmte Zielfunktion minimiert? Für solche Probleme gibt es Lösungsmethoden. Wie sieht die zu minimierende Größe denn aus?
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Mi 02.04.2008 | | Autor: | yuffie |
Danke für die Antwort.
Meine Materialeigenschaften a(x)= A- B(2x-L)². Und dieses A Und B muss ja minimoert werden, je nachdem wie lang mein Balken ist, verhält sich A und B. Und dieses Problem mit unter zu kriegen stört mich.
y´1= y2 y(0)=0
y´2= y´´(x) y´(0)=0
ist meine erste Transformation, um Runge-Kutta anzuwenden.
Hierbei habe ich nun das Problem, dass er A und B nicht als definierte Variablen anerkennt.
Meine Ziellösung ist eine Aussage zu treffen, wie sich mein A und B verändert, wenn ich l(Balken) verändere.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:24 Mi 02.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Antwort.
> Meine Materialeigenschaften a(x)= A- B(2x-L)². Und dieses
> A Und B muss ja minimoert werden, je nachdem wie lang mein
> Balken ist, verhält sich A und B.
Das verstehe ich nicht. Welche Größe soll minimiert werden, was sind die unabhängigen Variablen?
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:28 Do 03.04.2008 | | Autor: | yuffie |
Wenn ich das Richtig verstanden habe, ist A meine indirekte unabhängige Variable, denn A hängt nicht von x ab, aber A hängt von B ab, denn A>Bl² und B ist eine abhängige Variabe zu x. oder habe ich da einen Denkfehler?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:18 Fr 04.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wenn ich das Richtig verstanden habe, ist A meine indirekte
> unabhängige Variable, denn A hängt nicht von x ab, aber A
> hängt von B ab, denn A>Bl² und B ist eine abhängige Variabe
> zu x. oder habe ich da einen Denkfehler?
Normalerweise betrachtet man in so einem Fall A und B als unabhängige Variablen mit der Nebenbedingung [mm] $A>Bl^2$. [/mm] Wenn es eine Gleichung wäre, dann könntest du B durch A ausdrücken. Da es aber eine Ungleichunge ist, ist auch bei gegebenem A b nicht festgelegt (außer im eher uninteressanten Fall A=0).
Du hast aber immer noch nicht gesagt, welches deine zu minimierende Zielfunktion ist, und wie die DGL da hineinkommt.
Vielleicht formulierst du mal das komplette Problem, und nicht nur deinen Ansatz.
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:44 Mi 30.04.2008 | | Autor: | yuffie |
Ich danke vielmals um die Hilfe. Ich habe mein Problem mit Runge-Kutta und auf numerischen Weg lösen können.
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