DGL mit Integral < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass
[mm] u(y,\tau)=\bruch{1}{\wurzel{4\pi\tau}}\integral_{-\infty}^{\infty}{u_{0}(s)e^{-(y-s)^{2}/4\tau} ds}
[/mm]
für alle [mm] \tau>0 [/mm] und alle y die Differentialgleichung
[mm] \bruch{\partial u}{\partial \tau}=\bruch{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}
[/mm]
erfüllt, sowie dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}u(y,\tau)=u_{0}(y) [/mm] ist.
Hinweis zum zweiten Teil: Betrachten Sie zuerst [mm] (u^{schlange})_{0}=1, [/mm] schreiben Sie damit [mm] u(y,\tau)-u_{0}(y) [/mm] als ein einziges Integral und zerlegen dieses in Teilintegrale für [mm] |s-y|<\epsilon [/mm] sowie [mm] |s-y|\ge\epsilon. [/mm] |
Hallo!
Ich bearbeite gerade obige Aufgabe. Ich wollte nun erstmal die Korrektheit der Lösung der DGL zeigen: Dazu wollte ich u jeweils nach [mm] \tau [/mm] bzw. zweimal nach y ableiten und dann die Gleichheit der beiden Ergebnisse zeigen.
Mein Problem ist nun, dass ich nicht weiß, wie man das u partiell ableitet, da es ja ein unbestimmtes Integral enthält.
Kann mir jemand helfen oder muss ich schon ganz anders an die Aufgabe rangehen?
Viele Grüße,
SoB.DarkAngel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Fr 16.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Existenz des Integrals vorrausgesetzt kann man unter dem Inteegral differenzieren. (natürlich nur nach [mm] \tau [/mm] und y, nicht nach s)
Gruss leduart
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