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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - DGL mit 2. Funktionen
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DGL mit 2. Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Fr 18.05.2012
Autor: helicopter

Aufgabe
Konstruieren Sie die Allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung
[mm] \dot x_h(t) [/mm] = [mm] a(t)x_h(t) [/mm]
Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Lösung und des Ansatzes
x(t) = [mm] A(t)x_h(t) [/mm]
die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
[mm] \bruch{d}{dt} [/mm] x(t) = a(t)x(t) + b(t)
Lösen Sie damit das Anfangswertproblem
[mm] x(0)=x_0 [/mm]

Hallo, haben die Aufgabe aufbekommen und jetzt bin ich ein wenig verwirrt.
Sie Sollte mit den Mitteln die wir gelernt haben lösbar sein, vorgestellt wurde uns

- Separation der Variablen
- Exponentialansatz

Und Lösungsverfahren wo man den Ansatz macht [mm] \bruch{d}{dt} [/mm] x(t) = A * x(t)
Wobei A eine nxn Matrix ist.

Ich wüsste aber nicht wie ich die Gleichung mit diesen Ansätzen lösen könnte.

Vielen Dank im Voraus

        
Bezug
DGL mit 2. Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:44 Fr 18.05.2012
Autor: MathePower

Hallo helicopter,

> Konstruieren Sie die Allgemeine Lösung der homogenen
> Differentialgleichung
>  [mm]\dot x_h(t)[/mm] = [mm]a(t)x_h(t)[/mm]
>  Bestimmen Sie mit Hilfe dieser Lösung und des Ansatzes
>  x(t) = [mm]A(t)x_h(t)[/mm]
>  die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
>  [mm]\bruch{d}{dt}[/mm] x(t) = a(t)x(t) + b(t)
>  Lösen Sie damit das Anfangswertproblem
>  [mm]x(0)=x_0[/mm]
>  Hallo, haben die Aufgabe aufbekommen und jetzt bin ich ein
> wenig verwirrt.
>  Sie Sollte mit den Mitteln die wir gelernt haben lösbar
> sein, vorgestellt wurde uns
>  
> - Separation der Variablen
> - Exponentialansatz
>  
> Und Lösungsverfahren wo man den Ansatz macht [mm]\bruch{d}{dt}[/mm]
> x(t) = A * x(t)
>  Wobei A eine nxn Matrix ist.
>  
> Ich wüsste aber nicht wie ich die Gleichung mit diesen
> Ansätzen lösen könnte.
>  


Hier machst Du den Exponentialansatz:

[mm]x\left(t\right)=e^{B\left(t\right)}[/mm]

,wobei B wieder eine nxn-Matrix ist.



> Vielen Dank im Voraus



Gruss
MathePower

Bezug
                
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DGL mit 2. Funktionen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 03:14 Sa 19.05.2012
Autor: helicopter

e hoch eine Matrix?
Sowas hab ich leider noch nie gesehen...

Bezug
                        
Bezug
DGL mit 2. Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:07 Sa 19.05.2012
Autor: leduart

Hllo
ich nehm mal an, x ist eindimensional, dann nimmst du fuer [mm] x_h [/mm] den Separationsansatz. wahrscheinlich ist dann mit A(t) eine Stammfunktion von a(t) gemeint.
Gruss leduart

Bezug
        
Bezug
DGL mit 2. Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:03 Sa 19.05.2012
Autor: fred97

Wie leduart nehme ich an, dass x reellwertig ist und a eine stetige Funktion.

Mit dem Exponentialansatz sieht man, dass die allgemeine Lösung der homogenen Gl. so lautet:


             [mm] x_h(t)=A*e^{F(t)} [/mm]  (A [mm] \in \IR). [/mm]

Den Ansatz $x(t) = [mm] A(t)x_h(t) [/mm] $ für eine spezielle Lösung der inhomogenen Gl. nennt man "Variation der Konstanten"

Gehe damit in die  inhomogene Gl. ein und bestimme A(t) und dann eine spezielle Lösung x(t).

FRED

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